POD reduced order modelling for cortical spreading depression

The goal of this thesis is to provide a reliable and computationally efficient method for the modeling of cortical spreading depression (CSD). This phenomenon essentially consists of a depolarization wave that initiates in the visual region, propagates across the brain cortex, and has been deemed a neural correlate of migraine aura. \\ The mathematical model used to describe CSD is represented by a nonlinear system coupling a partial with an ordinary differential equation. The approximation of such a model is, in general, a challenging task, especially due to considerable computational costs. This justifies our proposal of a reduced order model. In particular, we adopt a proper orthogonal decomposition (POD) scheme. Additionally, since the coupled system involves nonlinearities, we combine POD with the discrete empirical interpolation method (DEIM). Nevertheless, since POD-DEIM approach fails to accurately capture sharp propagating fronts, as in the case of the CSD wave, we propose some variants of standard POD-DEIM algorithm to improve the accuracy of the reduced model. The obtained results seem promising although preliminary.\\ This thesis has been partially developed at BCAM (Basque Center for Applied Mathematics) in Bilbao, under an official agreement between Politecnico di Milano and BCAM.

L'obiettivo di questa tesi è fornire un metodo affidabile e computazionalmente efficiente per la modellazione della cortical spreading depression (CSD) o depressione corticale propagante. Questo fenomeno è caratterizzato essenzialmente da un'onda depolarizzata che insorge nella corteccia visiva, si propaga attraverso la corteccia cerebrale ed è ritenuta essere un correlato neurale dell'emicrania con aura. \\ Il modello matematico che descrive la CSD è un sistema non lineare che accoppia un'equazione a derivate parziali con un'equazione differenziale ordinaria. L'approssimazione di questo modello non è semplice a causa soprattutto dell'elevato costo computazionale da essa richiesto. Questo aspetto giustifica la nostra proposta di sviluppare un modello ridotto. In particolare, abbiamo adottato lo schema della proper orthogonal decomposition. Inoltre, dato che il sistema presenta delle forti non linearità, abbiamo combinato la POD con il DEIM (discrete empirical interpolation method). Tuttavia, dal momento che l'approccio POD-DEIM standard fallisce nell'individuare in modo efficiente la propagazione di fronti, come nel caso dell'onda CSD, abbiamo proposto delle opportune varianti al classico metodo POD-DEIM per ridurne il costo computazionale. I risultati ottenuti sono promettenti, sebbene preliminari.\\ Questa tesi è stata parzialmente svolta presso il BCAM (Basque Center for Applied Mathematics) a Bilbao, nell'ambito di un accordo di collaborazione tra il Politecnico di Milano e il BCAM.