Inverse problems and model reduction : a Bayesian approach

In this thesis we reformulate the Inverse Problem of source identification in Advection-Diffusion-Reaction (ADR) problems in terms of Bayesian Inference and use recently proposed techniques to develop a computationally efficient and accurate framework for its solution. In the Bayesian setting, each unknown parameter is modelled as a random variable, hence the solution of Inverse Problem is the probability density function of the source term. One way to summarise the solution that is akin to the solution of the Inverse Problem in a deterministic setting is to provide a single point estimate, which in our case is an approximation of the Maximum a Posteriori (MAP) estimate. The computational cost of solving ADR problems can be reduced by a Hierarchical Model (Hi-Mod) reduction technique that, in turn, reduces the resolution of the solution. Recently, it has been proposed to extend the Bayesian paradigm of modelling unknowns as random variable to the error induced by a reduced model. In this thesis we introduce a novel Bayesian modelling error correction for Hierarchical Model reduction that can be computed off-line. Our preliminary results indicate that, by accounting for the introduced modelling error, the Hi-Mod reduction computes solutions of ADR problems with a resolution similar to that obtained with the more accurate model. The thesis is organised as follows. After a brief review of fundamental notions of Bayesian Statistics and computational Inverse Problems, we formulate and solve the problem of estimating the source term in an ADR problem in the Bayesian framework. We recall the definition of modelling error as a random variable and explain how this idea can be used in connection with Hi-Mod reduction technique for ADR problems. We show the viability of this idea in a set of preliminary computed examples.

In questa tesi riformuliamo il problema inverso di identificazione del termine di sorgente in problemi di diffusione-trasporto-reazione (Advection-Diffusion-Reaction o ADR) in termini di inferenza Bayesiana. L'obiettivo è quello di sviluppare tecniche nuove che permettano di fornire un contesto computazionalmente efficiente e accurato per la soluzione di questo tipo di problemi. In accordo con un approccio Bayesiano, ogni parametro incognito viene modellato come una variabile aleatoria. Ne segue che la soluzione del problema inverso coincide con la funzione densità di probabilità del termine di sorgente. Un modo per riassumere la soluzione, analogo alla risoluzione del problema inverso nel caso deterministico, coincide con un'approssimazione della stima Maximum A Posteriori (MAP). Il costo computazionale associato alla risoluzione di problemi ADR viene poi ridotto attraverso una tecnica di Riduzione di Modello Gerarchica (Hierarchical Model reduction o Hi-Mod reduction) che, come tale, riduce l'accuratezza della soluzione del modello ADR in esame. Di recente è stato proposto di estendere il paradigma Bayesiano, in base al quale le incognite di modello sono trattate come variabili aleatorie, all'errore indotto dal modello ridotto. In questa tesi introduciamo una nuova correzione di natura Bayesiana per l'errore di modello Hi-Mod, che può essere calcolata off-line. I nostri risultati preliminari indicano che, tenendo conto dell'errore di modello introdotto, la riduzione Hi-Mod fornisce delle soluzioni per problemi ADR con una risoluzione simile a quella ottenuta con il modello più accurato. La tesi è organizzata come segue. Dopo una breve rassegna di nozioni fondamentali di statistica Bayesiana e problemi inversi computazionali, riformuliamo e risolviamo il problema della stima del termine di sorgente in un problema ADR. Richiamiamo quindi la definizione di errore di modello inteso come variabile aleatoria e spieghiamo come questa idea possa essere associata alla tecnica Hi-Mod per problemi ADR. Mostriamo infine l'attuabilità di questa idea attraverso un insieme di esempi numerici preliminari.