Generalized sub-Gaussian model for subsurface variables and increments : assessment of diverse subordinator functions

Spatial variability of hydrogeological properties is a key issue in diverse fields of application, including petroleum engineering, and/or water resources management. Subsurface flow and transport parameters are typically modeled as random functions of space and/or time. Whereas many hydrological variables appear to exhibit frequency distributions which are likely Gaussian or nearly Gaussian, those of their increments display peaks growing sharper and tails becoming heavier as separation lag decreases. The Generalized sub-Gaussian (GSG) model recently proposed by Riva et al. (2015) offers the opportunity to reconcile these two seemingly contradictory behaviors, by subordinating the considered random process (Y) to a Gaussian random field (G) through the action of a subordinator (U), which is modeled as a random function of space. The probability density function characterizing the subordinator can be selected (in principle) amongst a set of candidate models. This study aims at assessing the effect of three diverse subordinator functions, i.e., Log-Normal, Gamma and Beta prime, on the resulting GSG function. We start by presenting the main equations of the Generalized sub-Gaussian. We then present analytical expressions of probability density functions and key statistical moments of Y and its increments for the subordinators considered. The behavior of these quantities is characterized as a function of the parameters associated with the probability density function employed to describe the subordinator. The model is then applied on two datasets comprising (a) neutron porosity data from borehole measurements in an oil and gas field, and (b) air permeability data from measurements across a centimeter-scale Berea sandstone block. Estimates of model parameters are obtained through the Method of Moments and Maximum Likelihood estimation. The relative skill of each subordinator model to interpret a given data set is assessed through the use of the Kullback-Leibler Divergence.

La variabilità spaziale delle proprietà idrogeologiche gioca un ruolo chiave in diversi settori, inclusi l'industria petrolifera e la gestione delle risorse idriche. Generalmente, i parametri caratterizzanti i fenomeni di flusso e trasporto sotterraneo sono modellati come funzioni casuali nello spazio e/o nel tempo. Sebbene molte variabili idrologiche presentino spesso distribuzioni di frequenza Gaussiane o simil Gaussiane, quelle dei loro incrementi esibiscono picchi più pronunciati e code più pesanti al decrescere del lag. Questi comportamenti che sembrano in contrapposizione possono essere riconciliati dal Generalized sub-Gaussian (GSG) model, recentemente proposto da Riva et al. (2015). Quest'ultimo subordina il processo casuale considerato (Y) ad un campo casuale Gaussiano (G) per mezzo di un subordinatore (U) modellato come una funzione casuale nello spazio. In principio, le possibili opzioni per la scelta della funzione di densità di probabilità caratterizzante il subordinatore sono molte. L'obiettivo di questo studio è la valutazione dell'impatto di tre diverse funzioni subordinatrici, ovvero Log-Normale, Gamma e Beta inversa, sui campi sub-Gaussiani ottenuti. Dapprima vengono presentate le equazioni principali del Generalized sub-Gaussian model. Successivamente, per ogni subordinatore considerato, vengono presentate le espressioni analitiche delle funzioni di densità di probabilità e dei loro momenti statistici di interesse sia per Y che per i suoi incrementi. Il comportamento di queste quantità viene caratterizzato in funzione dei parametri associati alle funzioni di densità di probabilità impiegate per definire il subordinatore. Il modello è quindi applicato a due differenti dataset: (a) dati di porosità ottenuti da misurazioni effettuate in un pozzo verticale di un field che produce sia olio che gas; (b) dati di permeabilità all'aria ottenuti da misurazioni effettuate su di un blocco dell'ordine di qualche centimetro, di arenaria di Berea. Per la stima dei parametri del modello si impiegano il Metodo dei Momenti e il metodo della Massima Verosimiglianza. Infine, si impiega il calcolo della divergenza di Kullback-Leibler per valutare la capacità di ogni scelta di funzione subordinatrice di interpretare un determinato set di dati.