Numerical approximation and optimal control of free surface problems with moving contact line

The present research has been guided by an industrial application in the framework of inkjet printing. A general description of this application, given at the beginning of the present thesis, shows its significance, related to the wide range of modeling, theoretical and numerical issues that it entails. The ultimate goal of the present work is the deep understanding of the dynamics governing the evolution of the liquid inside the printing nozzle, and the design of an optimal strategy to control this evolution. To this aim, several intermediate steps are identified and addressed, involving the theoretical and numerical analysis of free boundary problems. The first part of the thesis is devoted to the numerical simulation of a free surface incompressible flow in the presence of a moving contact line. A stability analysis is performed on a finite element scheme with an Arbitrary Lagrangian-Eulerian treatment of the moving geometry, and a novel consistent stabilization form is devised, to cure the spurious oscillations occurring at the free surface. In order to enhance the understanding of some peculiar characteristics of the complex mathematical model under inspection, a theoretical and numerical analysis of a simplified free boundary problem is addressed. In particular, an original contribution is given in terms of the extension of literature results to consider the presence of moving contact points and the imposition of a contact angle. After the extended investigation of direct free boundary problems, an optimal control problem is addressed, in order to answer to the industrial problem motivating the research. Employing an instantaneous control approach, an effective strategy is devised, to control the natural oscillations characterizing the evolution of the flow inside the nozzle and to shorten the duration of the transient preceding the attainment of the equilibrium configuration of the physical system. Aiming at further improving the results obtained by instantaneous control by means of alternative perspectives, the application of the Lagrangian-based optimization approach to free boundary problems is analyzed in depth. The present research represents a first step in this direction, and thus a simpler class of stationary problems is addressed. The optimization problem is reformulated as a two-level optimal control problem, and a complying two-level gradient method is devised, hinging upon an original interpretation of the adjoint variables stemming from the Lagrangian approach. The application of the method to the particular case of a Bernoulli free boundary problem highlights the role of the geometric quantities in the optimization process. The solution of free surface problems can require a very high computational effort, especially if optimal control problems are addressed. Therefore, a part of the present thesis is devoted to the exploration of the reduced basis method and its effectiveness in reducing the computational burden of the repeated solution of differential problems. Due to the complexity of the full flow model, a simpler differential system is considered, that is a parametrized eigenvalue problem for the Laplacian. Dual-weighted-residual type a posteriori error estimators are derived, and they are employed in the construction and certification of a reduced basis approximation of the first eigenpair, both in the case of affine and non-affine parametrization.

L’attività di ricerca raccolta in questa tesi prende spunto da un’applicazione industriale nell’ambito della stampa a getto d’inchiostro. Nella parte iniziale di questo lavoro viene fornita una descrizione generale di tale applicazione, per presentarne la rilevanza scientifica, dovuta all’ampio spettro di questioni modellistiche, teoriche e numeriche che essa pone. L’obiettivo finale di questo lavoro consiste nella comprensione profonda delle dinamiche che governano il moto del liquido all’interno dell’ugello di stampa, nonché nella progettazione di una strategia ottimale per controllare tale evoluzione. A questo scopo, si identificano ed affrontano diversi passi intermedi, che coinvolgono l’analisi teorica e numerica di problemi a frontiera libera. La prima parte di questo elaborato è dedicata alla simulazione numerica di un flusso incomprimibile a superficie libera con linea di contatto mobile. Il problema differenziale associato è approssimato mediante uno schema agli elementi finiti con trattamento di tipo ALE della geometria mobile. L’analisi di stabilità del metodo numerico ha come principale risultato la definizione di un’innovativa forma stabilizzante, che permette di smorzare le oscillazioni spurie che interessano la superficie libera. Per approfondire la comprensione di alcune caratteristiche del complesso modello matematico in esame, viene affrontata l’analisi teorica e numerica di un problema semplificato a frontiera libera. A tal proposito, questo lavoro estende alcuni risultati presenti in letteratura e dà un contributo originale legato al trattamento di punti di contatto che possono muoversi e all’imposizione di un angolo tra la frontiera libera e quella fissa. Dopo lo studio esteso di problemi diretti a frontiera libera, l’indagine si orienta verso un problema di controllo ottimo, che mira a rispondere agli interrogativi industriali che motivano la presente ricerca. Mediante una tecnica di tipo instantaneous control, viene delineata un’efficace strategia di controllo delle oscillazioni fisiche che caratterizzano l’evoluzione del flusso all’interno dell’ugello: si ottiene, infatti, una significativa riduzione della durata del transitorio che precede il raggiungimento della configurazione di equilibrio del sistema. Con l’obiettivo di migliorare ulteriormente i risultati ottenuti, mediante l’impiego di approcci alternativi, viene approfondita l’adozione di una prospettiva lagrangiana al controllo ottimo di un generico problema stazionario a frontiera libera. Grazie alla riformulazione come problema di ottimizzazione a due livelli, è possibile proporre un opportuno metodo del gradiente - a due livelli - che si basa su un’interpretazione originale dei problemi aggiunti introdotti dall’approccio lagrangiano. Tramite l’applicazione del metodo così ottenuto al caso particolare di un problema di Bernoulli, si riesce ad evidenziare il ruolo delle quantità geometriche (come il versore normale e la curvatura della frontiera libera) nel processo di ottimizzazione. Come è possibile evincere dai diversi aspetti dei sistemi differenziali esaminati nel presente lavoro, la soluzione di problemi a superficie libera può richiedere un costo computazionale molto elevato, ancor più se si considerano problemi di controllo ottimo. Pertanto, una parte di questa tesi è dedicata all’esplorazione dei metodi alle basi ridotte e della loro efficacia nel ridurre il carico computazionale dovuto alla soluzione reiterata di problemi differenziali. A causa della complessità del problema fluido completo, si considera un sistema più semplice, ossia un problema parametrizzato agli autovalori generalizzati per il laplaciano. Mediante un approccio di tipo dual weighted residual, è possibile derivare stimatori a posteriori dell’errore sulla soluzione del problema in esame. Tali indicatori sono, poi, utilizzati sia nella costruzione, sia nella certificazione dell’approssimazione alle basi ridotte per la prima coppia autovalore-autofunzione. Il metodo ottenuto è testato considerando dipendenze dai parametri sia di tipo affine, sia non-affine.