Efficient transform method for path-dependent derivatives by density frame projection

The present work aims at deeply investigating a transform based pricing method and applying it to several financial derivatives. In particular it is adopted to European as well as to path-dependent derivatives like Asian and Barrier options, including Parisian contracts. The developed method allows to efficiently invert the analytical characteristic function of the underlying asset, modelled by exponential Lévy processes (both finite and infinite activity) or affine models, e.g.\ Heston. The methodology grounds on duality theory of frames (or more generally of Riesz Basis), analysed in technical details. Exploiting this theoretical branch of applied mathematics, the orthogonally projected density is approximated by a B-Spline basis. The coefficients of this expansion, which basically are integrals, are derived in analytical formulas and computed numerically by the FFT, resulting in exponential convergence of the overall pricing error. The implemented method turns out to be particularly effective for path-dependent derivatives where the evaluation step is repeated several times during in-time evaluation process. The results of the method applications are discussed by providing an in-depth sensitivity analysis. The comparison with state-of-the-art methods for pricing of European, Asian and Barrier Options, shows optimal outcomes both in terms of precision and computational time. For path-dependent derivatives we obtain rapidly converging value approximations to high precision, even for low resolution parameters, consistently resulting in a considerable time reduction with respect to best procedures diffused in literature. Even the particular case of Parisian Option is studied with the same methodology. Main implemented pricing codes are reported.

L'obbiettivo della tesi è approfondire un metodo basato sulla trasformata di Fourier, atto a prezzare derivati finanziari, e poi applicare tale procedura al caso di una opzione europea e in seguito alle opzioni asiatiche e di tipo barriera, comprese le cosiddette ``Parisian". Prezzare questo tipo di derivati risulta più complicato rispetto ad una opzione europea, perchè il prezzo dipende dall'andamento dell'asset sottostante durante tutta la durata del contratto e non solo dal valore raggiunto alla scadenza. Per tale ragione tali derivati sono detti ``path-dependent". Il metodo sviluppato permette di invertire la funzione caratteristica dell'asset in modo efficiente dal punto di vista computazionale. Il sottostante è modellato tramite vari processi di Lévy esponenziali, tra i quali il cosiddetto modello Black-Scholes-Merton (BSM), processi ad attività finita (KOU e MJD) e ad attività infinta (NIG,CGMY,VG), oppure tramite il modello di Heston. Cambiare tipo di modello per il sottostante è immediato, perchè l'unico input di modello richiesto dall'algoritmo è la funzione caratteristica, nota in modo analitico per tutti i modelli sopra citati. La metodologia è basata sulla teoria di dualità dei cosiddetti ``frames", un particolare tipo di base, o più in generale delle basi di Riesz. Perciò, questa particolare branca della matematica applicata è stata approfondita dal punto di vista tecnico presentando alcuni dei più importanti risulati. In seguito è sata utilizzata per approssimare la proiezione ortogonale della densità del sottostante attraverso la base cosiddetta ``B-spline" (di vario ordine). I coefficienti di tale espansione della funzione densità risultano essere degli integrali, i quali, tramite delle formule analitiche, sono calcolati numericamente sfruttando la Fast Fourier Transform (FFT). Questo modo di procedere permette di ottenere una convergenza esponenziale dell'errore complessivo sul prezzo dell'opzione. La procedura risulta particolarmente efficace per i derivati ``path-dependent", per i quali il passaggio di valutazione in cui è massivamente utilizzata la FFT è ripetuto un numero elevato di volte durante un processo che si muove ``in avanti" nel tempo per le opzioni asiatiche e ``all'indietro" per le opzioni barriera. I risultati ottenuti dal metodo sono analizzati attraverso una profonda analisi di sensitività, effettuata separatamente per ogni tipo di opzione considerata, ovvero europee, asiatiche, barriere e ``Parisian". Inoltre gli esiti sono stati confrontati con lo stato dell'arte delle procedure atte a prezzare derivati finanziari. Per tale confronto è stata analizzata attentamente la letteratura riguardante tutti i metodi basati sulle trasformate. Ebbene le risultanze ottenute mostrano un ottimo comportamento del metodo sia in termini di precisione (anche per griglie di calcolo relativamente poco fitte) sia riguardo il tempo computazionale. Infine sono riportati i più importanti codici che ho implementato e utilizzato per ottenere i risultati poi analizzati.