Semi-analytical valuation for discrete barrier options

Discretely monitored barrier options are among the most traded exotic options in the market, and yet closed-form analytical pricing formulae are not available. In this work we implement and analyze the semi-analytical and fully explicit solution for pricing discretely monitored barrier options proposed by Cui et Al. (2016). The method is based on the assumption that the underlying asset is driven by a general Lévy process. The solution is derived by reducing the pricing problem into an integral equation using a Z-transform and by solving the equation with a Fourier-cosine series. The Z-transform inverse is then successfully carried out to obtain a semi-analytical formula for pricing discrete barrier options. The explicit formula only involves elementary functions and with little computational effort Greeks are available. The method is then adapted to a more realistic framework where model parameters such as barriers, volatility, interest rate and dividend yield are time dependent. Numerical comparison with other methods presented in literature assess the efficiency and accuracy of the derived pricing formula. Theoretical error bound and convergence are analyzed, with evidence of how easy is to control the approximations error.

Le opzioni barriera a monitoraggio discreto sono tra i derivati esotici più scambiati nel mercato; nonostante ciò, non esiste ancora una formula chiusa per prezzarle. In questo lavoro implementiamo e analizziamo una soluzione semi-analitica e esplicita per prezzare le opzioni barriera a monitoraggio discreto proposta da Cui et Al. (2016). Il sottostante presenta una dinamica di tipo Lévy. La soluzione è stata calcolata riconducendo il problema di pricing ad un'equazione integrale usando la Z-transform, per poi risolvere l'equazione attraverso l'espansione in serie di coseni di Fourier. L'inversa della Z-transform è successivamente trovata, così da ottenere una formula semi-analitica per prezzare l'opzione barriera a monitoraggio discreto. La formula esplicita contiene solamente funzioni elementari. Inoltre, è immediato ricavare le greche. Il metodo viene poi adattato ad un contesto più realistico in cui i parametri quali barriere, volatilità, tasso risk-free e rendimento del dividendo sono tempo-varianti. Paragoni con metodi presenti in letteratura permettono di accertare la validità e la precisione della formula di pricing ottenuta. Sono infine analizzati l'errore teorico e la convergenza, permettendo di concludere come sia possibile riuscire a controllare l'errore di approssimazione.