Dual-mixed hybridized approximation of parabolic problems in domains with active interfaces

Parabolic differential problems in domains with active interfaces can be found in many applications that vary from cellular biology to semiconductor electronics. The common aspect of this kind of problems is the presence of a heterogeneous domain, that is composed by subdomains that are divided by active interfaces, which contribute to mass transport from a subdomain to the others. The proposed Dual-Mixed Hybrid approximation deals with the finite element discretization by introducing a hybrid variable, that behaves like a Lagrange multiplier. This auxiliary variable represents the approximation of the solution on the boundary of a given mesh element, and allows us to enforce the current conservation law between neighbouring mesh elements. The obtained numerical scheme satisfies the discrete maximum principle, and guarantees a physically acceptable solution. The performed numerical tests show that the method satisfies the error estimates for the hybrid scheme in the elliptic case with no interfaces. In particular, the continuous piecewise linear interpolate of the hybrid variable converges quadratically in the L2 norm with respect to the spatial discretization parameter. The scheme produces an approximation of the primal variable that is characterized by an accuracy that is analogous to the one obtained with the standard Galerkin finite element linear approximation, with the advantage of being nodally continuous and locally self equilibrate.

I problemi differenziali parabolici in domini con interfaccia attiva sono presenti in molte applicazioni che possono variare dalla biologia cellulare all’elettronica dei semiconduttori. L’aspetto comune di questa tipologia di problemi è la presenza di un dominio eterogeneo, suddivisibile in più sottodomini separati da interfacce attive, che contribuiscono al trasporto di particelle da un sottodominio all’altro. L’approssimazione Duale-Mista Ibridizzata proposta nella tesi si preoccupa di affrontare la discretizzazione agli elementi finiti per questa tipologia di problemi introducendo una variabile ausiliaria ibrida, che si comporta da moltiplicatore di Lagrange. Questa variabile ausiliaria rappresenta l’approssimazione della soluzione sui bordi di un dato elemento di mesh, e permette di imporre la legge di conservazione della corrente tra elementi di mesh confinanti. Lo schema numerico ottenuto soddisfa il principio del massimo discreto, in modo da garantire una soluzione sempre fisicamente accettabile. I test numerici condotti per validare le prestazioni dello schema proposto dimostrano che il metodo verifica le stime dell’errore valide per lo schema ibridizzato nel caso ellittico in assenza di interfacce. In particolare, l’interpolante lineare a tratti e continua della variabile ibrida risulta convergere quadraticamente, nella norma di L2, rispetto al parametro di discretizzazione spaziale. In questo senso, lo schema produce un’approssimazione della variabile primale caratterizzata da una accuratezza analoga a quella ottenibile con il metodo standard agli elementi finiti di Galerkin di grado 1, con il vantaggio, pero‘, di fornire una approssimazione della corrente nodalmente continua e localmente autoequilibrata.