Model reduction by proper generalized decomposition in electrocardiology

This thesis deals with a priori reduced order modeling known as Proper Generalized Decomposition (PGD). The contents are formally divisible into two macro-sections. In the former part a new approach for differential problems defined over non Cartesian-separable domains is presented. As matter of fact for problem in two dimensions Proper Generalized Decomposition needs a physical domain expressed as the Cartesian product of two real intervals (squares and rectangles for instances) in order to be applied. This strongly limits the use of Proper Generalized Decomposition which presents as a useful tool in order to decrease computational cost of a given problem. Our approach consists in the creation of a numerical map from a reference rectangular (so separable) domain to the physical domain. Therefore the problem is completely referred onto reference domain and particular attention is given on new definition of differential operators in this new reference domain. Moreover the method is compared with the already present methods for similar problems: PGD in polar coordinates and an embedding technique of physical domain in a rectangular domain. The second part of the thesis deals with Cardiac Electrophysiology problem describing the electrical behavior of cardiac tissue. In particular the Monodomain problem is presented in order to describe the polarization of cell tissue in a macro scale. Among several ionic models, we used one by Rogers-McCulloch. After presentation of theorems governing existence, regularity and uniqueness of solution, PGD is applied on the problem. In particular we considered uncertainty on the two parameters composing the diffusivity tensor involved into the equation. PGD is tested in order to understand strength and weakness of the reduced order model. Finally, through the optimization of a cost functional, we tested PGD solution for estimating uncertain parameters of synthetic simulated signals.

La seguente tesi tratta di un modello ridotto a priori noto come Proper Generalized Decomposition (PGD). I contenuti sono formalmente divisi in due macro categorie. Nella prima parte è presentato un nuovo approccio per problemi differenziali definiti su domini non separabili in forma Cartesiana. Infatti per problemi in due dimensioni la Proper Generalized Decomposition necessita di un dominio fisico esprimibile come prodotto cartesiano di due intervalli reali (dunque quadrati o rettangoli) per poter essere applicata. Ciò limita fortemente l’utilizzo della Proper Generalized Decomposi- tion che rappresenta un utile strumento per ridurre il costo computazionale di un dato problema. Il nostro approccio consiste nella creazione di una mappa numerica da un dominio di riferimento rettangolare (quindi separabile) al dominio fisico. Quindi il problema è completamente riferito al dominio di riferimento e particolare attenzione è data alla nuova definizione degli operatori differenziali in questo nuovo dominio di riferimento. Inoltre il metodo è comparato con altri due già noti metodi di letteratura per problemi simili: PGD in coordinate polari e una tecnica di immersione del dominio fisico in un dominio rettangolare. La seconda parte della tesi tratta il problema dell’ elettrofisiologia cardiaca atto a descrivere il comportamento elettrico del tessuto cardiaco. In particolare è presentato il modello Monodomionio il quale descrive la polarizzazione delle cellule del tessuto cardiaco nella macro scala. Tra i vari modelli ionici, abbiamo utilizzato quello di Rogers-McCulloch. Dopo l’esibizione dei teoremi riguardanti esistenza, regolarità ed unicità della soluzione, la PGD è utilizzata per il modello. In particolare è stato considerato avere incertezza sui parametri che compongono il tensore di diffusività coinvolto nell’equazione. La PGD è testata per comprendere punti di forza e debolezza del modello ridotto. Infine, attraverso l’ottimizzazione di un certo funzionale di costo, la PGD è testata per stimare i parametri incerti di segnali sintetici simulati.