Rewarding miners : bankruptcy games and pooling strategies

In the Bitcoin system, mining is the procedure through which miners can gain money on regular basis by finding solutions to a mathematical crypto puzzle (full solution) which validate bitcoin transactions. Miners cooperate in order to reduce the uncertainty of the remuneration over time. Collaboration in the Bitcoin context, forming pools, is better than mining alone. This situation can be described as a cooperative game in game theory. Each pool receives a reward which has to be split among pool’s participants, the main question here is: how to divide it? Question that, translated in game theory becomes: how to divide the amount gained by a coalition between its components? There exist, in the literature and in practice, several reward functions which allocate bitcoins inside pools. The classical ones are: the proportional rule and the pay-per-share rule. Combining them, it is possible to construct a third rule which is incentive compatible, since it ensures that miners report full solutions to the pool immediately and not with a delay. Since the pay-per-share rule makes, in some cases, the pool going bankruptcy, we had the intuition to describe this situation as a bankruptcy game. Thanks to the bankruptcy model it is possible to reinterpret the third rule as an outcome of a combination of games: a bankruptcy game and a pessimistic additive game. Using two classical division rules for bankruptcy problems, namely the constrained equal award and the constrained equal losses systems, we construct two new reward functions for pools and investigate their properties. One of these allocating rules may have a good inter-pool behavior. Conversely, concerning the intra-pool behavior the new rules do not behave as well as the incentive compatible rule. However, this reinterpretation with bankruptcy games allows us finding out several interesting features which the incentive compatible rule satisfies. An example is the property of no advantageous merging or splitting which helps us in formalizing rule’s immunity from the Sybil attack.

Nel sistema Bitcoin, il processo di mining consente ai minatori di ottenere un regolare flusso economico in entrata, ciò trovando soluzioni a dei puzzle crittografici matematici (full solutions) per validare transazioni di bitcoin. Per ridurre l’incertezza delle remunerazioni nel tempo i minatori cooperano tra loro. La collaborazione, nel sistema Bitcoin, consiste nel formare pool ed è una scelta più vantaggiosa rispetto al rimanere soli. La situazione ben si adatta ad essere analizzata da modelli cooprativi in teoria dei giochi. Ogni pool riceve una ricompensa da dividere tra i membri e la questione è come dividerla, questione che in teoria dei giochi si traduce in: come dividere un guadagno di una coalizione tra i suoi membri? Sono state proposte e usate molte regole di ripartizione per i pool. Le più famose sono: la regola proporzionale e la regola pay-per-share. Combinandole è possibile ottenerne una terza che soddisfa la proprietà di incentive compatibility, cioè che garantisce che i minatori non appena trovata una full solution la comunichino al pool senza ritardi. Preso atto che la regola pay-per-share manda, in alcuni casi, il pool in bancarotta abbiamo avuto l’idea di descrivere la situazione avvalendoci dei giochi di bancarotta. Il modello di bancarotta consente di reinterpretare la terza regola come soluzione di una combinazione di giochi: uno additivo pessimistico e uno di bancarotta. Utilizzando due classiche regole allocative per problemi di bancarotta, constrained equal award e constrained equal losses, sono state costruite e analizzate due nuove regole di ripartizione per i pool. Una di queste risulta avere un buon comportamento in un’ottica inter-pool, cioè tra pool differenti. Viceversa, all’interno di un singolo pool, il comportamento delle nuove regole proposte non eguaglia quello della terza regola. Tuttavia la reinterpretazione fatta con i giochi di bancarotta ci ha permesso di scoprire e analizzare delle proprietà interessanti della regola incentive compatible. Una tra queste, è la proprietà di no advantageous merging or splitting che consente di formalizzare la sua immunità dal Sybil attack.