Conservative finite difference schemes for Keller-Segel models of chemotaxis applied to breast cancer growth

Chemotaxis, the movement of cells or organisms in response to chemical grandients, is a phenomenon that can be observed in many biological species, from tumor cells to mammals. Mathatical modelling of chemotaxis has been widely studied in recent years. The Keller-Segel model proposed in 1970 is today a cornerstone thanks to its ability to replicate key behaviors of chemosensitive populations, such as pattern formation. Due to the presence of nonlinear terms, chemotaxis models are mainly analytically untractable and thus suitable numerical methods are required. Numerical schemes have to be able to reproduce the physical properties of analytical solutions, such as nonnegativity and mass conservation when no-flux boundary conditions are imposed. In this thesis, we explore two density-dependent variants of the original Keller-Segel system with the aim to replicate the patterning behavior of a population of breast cancer cells. Inspired by the Scharfetter-Gummel discretization of drift-diffusion equations, we propose a conservative one-dimensional finite difference scheme to solve these systems. The word "conservative" refers to the ability of the schemes to maintain the nonnegativity of the discrete solution, conserve its initial mass and the stationary solutions of the system. The efficiency of the proposed schemes will be compared to the one of an uncenter upwind discretization through the study of the convergence of the relative error.

La chemiotassi, il movimento di cellule od organismi in risposta a un gradiente chimico, è un fenomeno biologico osservato in diverse specie mobili, dalle cellule tumorali ai mammiferi. La modellizzazione matematica della chemiotassi è stata largamente studiata negli ultimi anni. Il modello di Keller e Segel proposto nel 1970 è diventato un punto di riferimento grazie alla sua capacità di replicare i momenti chiave nello sviluppo di popolazioni chemiosensibili, come la formazione di aggregati. Data la presenza di termini non lineari, i modelli matematici per la chemiotassi sono per lo più analiticamente intrattabili. Pertanto si richiede lo sviluppo di schemi numerici capaci di riprodurre le proprietà fisiche più importanti delle soluzioni analitiche, come la loro nonnegatività e la conservatione della massa iniziale quando sono imposte condizioni di flusso nullo al bordo. In questa tesi, studiamo due diverse varianti del sistema di Keller-Segel originale con lo scopo di riprodurre matematicamente la formazione di aggregati di una popolazione di cellule tumorali del seno. Ispirati dallo schema di Scharfetter e Gummel proposto per la discretizzazione spaziale di equazioni di diffusione-trasporto, proponiamo uno schema alle differenze finite monodimensionale e conservativo per risolvere questi sistemi. Il termine "conservativo" si riferisce alla capacità degli schemi proposti di conservare la nonnegatività della soluzione discreta, la massa iniziale e le soluzioni stazionarie del sistema. L'efficienza degli schemi di tipo Scharfetter-Gummel sarà confrontata con quella di uno schema upwind decentrato attraverso lo studio della convergenza dell'errore relativo.