A bootstrap-based inferential framework for multivariate functional data : an application to ECG signals

In this work, we present the notion of Spearman index to quantify the dependence among two families of functional data. The tool is introduced as generalization, to the infinite dimensional case, of the analogous index of multivariate statistics. Then, we use the new notion to define the Spearman Matrix, a new mathematical object expressing the pattern of dependence among the components of a multivariate functional dataset. A suitable inferential framework for the Spearman index is provided, making use of the bootstrap methodology. In particular, we define point and interval estimators of the index and a test to check if two families of functional data can be assumed independent. A simulation study aimed at testing the performance of the Spearman index and Matrix in correctly detecting the pattern of dependence is also provided. Finally, the notion of Spearman Matrix is exploit to analyze two different populations of multivariate curves (specifically, Electrocardiographic signals of healthy and unhealthy people), in order to check if the pattern of dependence between the components is different in the two cases. Thus, we provide three tests of hypothesis verifying the equality between the Spearman matrices of the two populations. The first two are adaptations, to the functional case, of existing tests proposed in literature to compare the correlation matrices of different populations of multivariate data. The last one is a new test procedure, that we propose exploiting again the bootstrap approach. The inferential tools presented in this work represent, to the best of our knowledge, the first systematic attempt to investigate, in a rigorous way, the dependence in the functional setting.

In questo lavoro, presentiamo la nozione di indice di Spearman per quantificare la dipendenza sussistente tra due famiglie di dati funzionali. Il nuovo strumento è ricavato da una opportuna generalizzazione, al caso infinito dimensionale, dell'analogo indice della statistica multivariata. A partire da questa nozione, definiamo poi la Matrice di Spearman, un nuovo oggetto matematico che esprime in maniera intuitiva il pattern di dipendenza tra le componenti di un dataset funzionale multivariato. Per l'indice di Spearman, proponiamo un solido framework inferenziale, facendo uno della metodologia bootstrap. Definiamo infatti stimatori puntuali ed intervallari dell'indice e un test che verifica se due famiglie di dati funzionali possano essere considerate indipendenti. Inoltre, per mostrare l'efficienza dell'indice e della Matrice di Spearman nel cogliere la dipendenza tra curve, presentiamo un robusto studio di simulazione. Infine, la nozione di Matrice di Spearman viene usata per analizzare due diverse popolazioni di dati funzionali multivariati (nello specifico, segnali elettrocardiografici di persone sane e affette da una patologia cardiaca), con l'obiettivo di confrontare i relativi pattern di dipendenza ed evidenziare eventuali differenze. Pertanto, presentiamo tre test di ipotesi che verificano l'uguaglianza delle matrici di Spearman associate alle due popolazioni. I primi due sono adattamenti, al caso funzionale, di test già proposti in letteratura per testare l'uguaglianza delle matrici di correlazione di diverse popolazioni di dati multivariati. Il terzo è invece un nuovo test, che proponiamo facendo uso nuovamente della metodologia bootstrap. Gli strumenti che forniamo rappresentano un primo tentativo di studiare, in maniera rigorosa e sistematica, la dipendenza in ambito funzionale.