Robust constrained control of piecewise affine systems based on reach sets computation

We address finite horizon control of discrete time systems affected by bounded disturbances. The goal is to drive the state of the system close to some target position, starting from a possibly uncertain initial value, while satisfying actuation constraints on the control input and safety specifications on the state during the reference time horizon. We consider the class of piecewise affine systems, which are characterized by a set of affine dynamics, each one associated with an element (mode) of a polyhedral partition of the state space. The idea is to build a static state feedback control law by a two-step procedure. In the first step, a feasible nominal trajectory bringing the system from some nominal initial state to the target set is determined by neglecting disturbances and solving a mixed integer linear program (MILP). In the second step, a static state feedback control law is determined according to the receding horizon strategy so as to keep the piecewise affine system evolution close to the designed trajectory along some shorter look-ahead time horizon, while accounting for uncertainty. The state feedback control law is determined by representing the set of states that the system can reach (reach set) via a zonotope and computing the control input associated to its center and generators: a linear combination of such inputs according to coefficients that depend on the state coordinates within the zonotope provides the state feedback. If the reach sets keep within the modes associated with the designed nominal trajectory, then, the piecewise affine system reduces to a time-varying affine system and the problem to an LP. If the reach set splits among modes, then, a mode recovery procedure is put in place to bring the system back to the nominal trajectory. The resulting MILP-based approach offers an alternative to other approaches in the literature like the one resorting to an optimal constrained control reformulation, and to multi-parametric programming for solving the resulting dynamic programming equations.

Questa tesi riguarda il controllo su orizzonte finito di sistemi a tempo discreto soggetti a disturbi limitati. L’obiettivo è portare lo stato del sistema in una regione finale desiderata a partire da una condizione iniziale possibilmente incerta, soddisfacendo durante l’orizzonte temporale vincoli di attuazione sulle variabili di controllo e alcune specifiche in termini di valori ammissibili per le variabili di stato. Il problema viene affrontato per la classe dei sistemi affini a tratti, i quali sono caratterizzati da un insieme di dinamiche affini, ciascuna associata ad un elemento (modo) di una partizione in poliedri dello spazio di stato. L’idea è di costruire una legge di controllo statica in retroazione dallo stato mediante una procedura a due passi. Nel primo passo si trascurano i disturbi e si determina una traiettoria nominale ammissibile che porta il sistema da uno stato iniziale nominale alla regione finale attraverso la soluzione di un problema di programmazione lineare mista intera (MILP). Nel secondo passo si determina una legge di controllo statica in retroazione dallo stato secondo la logica ad orizzonte recessivo, in modo cioè da mantenere l’evoluzione del sistema affine a tratti vicina alla traiettoria progettata in un orizzonte temporale più breve, tenendo conto al contempo dell’incertezza a cui è soggetto. La legge di controllo statica in retroazione dallo stato è determinata rappresentando l’insieme degli stati che il sistema può raggiungere (insieme raggiungibile) mediante uno zonotope e calcolando le azioni di controllo associate al suo centro e ai suoi generatori: una combinazione lineare di tali ingressi secondo coefficienti dipendenti dalla posizione dello stato all’interno dello zonotope fornisce la retroazione suddetta. Se gli insiemi raggiungibili si mantengono all’interno dei modi corrispondenti alla traiettoria nominale progettata, allora il sistema affine a tratti si riduce ad un sistema affine tempo-variante e il corrispondente problema di ottimizzazione diventa lineare. Se l’insieme raggiungibile non rimane all’interno dei modi corrispondenti alla traiettoria nominale, allora viene messa in atto una procedura per riportare lo stato del sistema verso di essa. L’approccio risultante riduce quindi il problema ad un MILP e offre un’alternativa ad altri approcci, come per esempio quello basato sulla formulazione di un problema di controllo ottimo con vincoli e sulla sua soluzione esatta mediante programmazione dinamica, nel quale la legge di controllo statica in retroazione dallo stato viene calcolata mediante programmazione multiparametrica.