Knowledge of the model of a system is a key prerequisite in many automation problems, such as control and estimation. A model is usually designed by separating two main components: a deterministic part, directly derived from the mathematical laws governing the system, and a stochastic part, referred as noise, that accounts for all those aspects that for various reasons will not be taken in consideration. In Kalman filtering, a powerful estimator extensively used in engineering and more, the noise is expressed by means of stochastic processes with unknown statistical properties – namely, mean and covariance – that worsen significantly the filter's estimations' quality. This thesis has the purpose of finding a method to provide the filter an approximation of said noise covariance. A technique called Stochastic Approximation with Parabolic Interpolation (in short: SAPI) has been developed, with the aim of solving the issue by applying the principles of stochastic optimization. The main idea is to redefine the covariance estimation as an optimization problem, with an objective function whose minimum is the covariance itself. In these terms, such function shall be a measurement of the filter's performance, which shall in turn become the mean by which finding a solution capable of making it run at (almost) optimal conditions. The proposed method is conceptually very simple but solid nonetheless, and counts small computational costs with respect to certain state of the art classes of methods and reasonably accurate covariance estimations among its advantages.

La conoscenza approfondita del modello di un sistema è un prerequisito chiave di molti problemi dell'automatica, tra cui il controllo e la stima. Generalmente un modello viene progettato separando due componenti: una deterministica, derivata direttamente dalle leggi matematiche che governano il sistema, e una stocastica, detta rumore, che riassume tutti gli aspetti che per varie ragioni non sono stati presi in considerazione. Nel filtro di Kalman, un potente stimatore ampiamente utilizzato in ingegneria e non, il rumore è rappresentato da processi stocastici caratterizzati da una media e da una covarianza sconosciute, e la sua presenza ne affligge il funzionamento riducendo significativamente la qualità delle stime. Lo scopo di questa tesi è stato dunque elaborare un metodo in grado di fornire al filtro di Kalman un'approssimazione della covarianza del rumore. Nel corso del lavoro è stata sviluppata una tecnica denominata Approssimazione Stocastica con Interpolazione Parabolica, o SAPI (dall'inglese Stochastic Approximation with Parabolic Interpolation), che si prefigge di risolvere la questione applicando i principi dell'ottimizzazione stocastica. L'idea di base è quella di ridefinire la stima della covarianza come un problema di ottimizzazione, caratterizzato da una funzione obiettivo – dipendente dalla covarianza stessa – il cui minimo costituisce esattamente la covarianza ricercata. In questi termini la funzione obiettivo non è nient'altro che una metrica che esprime la qualità delle prestazioni del filtro di Kalman, e che diviene il fulcro per trovare una soluzione capace di farlo operare in condizioni (quasi) ottimali. Il metodo proposto risulta concettualmente molto semplice ma qualitativamente valido, che vanta un costo computazionale molto ridotto rispetto a talune classi di metodi dello stato dell'arte e stime della covarianza ragionevolmente accurate.

Analisi e sviluppo di un metodo di approssimazione stocastica delle matrici di covarianza del rumore nel filtraggio alla Kalman

MEAZZI, ANNALISA
2016/2017

Abstract

Knowledge of the model of a system is a key prerequisite in many automation problems, such as control and estimation. A model is usually designed by separating two main components: a deterministic part, directly derived from the mathematical laws governing the system, and a stochastic part, referred as noise, that accounts for all those aspects that for various reasons will not be taken in consideration. In Kalman filtering, a powerful estimator extensively used in engineering and more, the noise is expressed by means of stochastic processes with unknown statistical properties – namely, mean and covariance – that worsen significantly the filter's estimations' quality. This thesis has the purpose of finding a method to provide the filter an approximation of said noise covariance. A technique called Stochastic Approximation with Parabolic Interpolation (in short: SAPI) has been developed, with the aim of solving the issue by applying the principles of stochastic optimization. The main idea is to redefine the covariance estimation as an optimization problem, with an objective function whose minimum is the covariance itself. In these terms, such function shall be a measurement of the filter's performance, which shall in turn become the mean by which finding a solution capable of making it run at (almost) optimal conditions. The proposed method is conceptually very simple but solid nonetheless, and counts small computational costs with respect to certain state of the art classes of methods and reasonably accurate covariance estimations among its advantages.
FORMENTIN, SIMONE
ING - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
4-ott-2017
2016/2017
La conoscenza approfondita del modello di un sistema è un prerequisito chiave di molti problemi dell'automatica, tra cui il controllo e la stima. Generalmente un modello viene progettato separando due componenti: una deterministica, derivata direttamente dalle leggi matematiche che governano il sistema, e una stocastica, detta rumore, che riassume tutti gli aspetti che per varie ragioni non sono stati presi in considerazione. Nel filtro di Kalman, un potente stimatore ampiamente utilizzato in ingegneria e non, il rumore è rappresentato da processi stocastici caratterizzati da una media e da una covarianza sconosciute, e la sua presenza ne affligge il funzionamento riducendo significativamente la qualità delle stime. Lo scopo di questa tesi è stato dunque elaborare un metodo in grado di fornire al filtro di Kalman un'approssimazione della covarianza del rumore. Nel corso del lavoro è stata sviluppata una tecnica denominata Approssimazione Stocastica con Interpolazione Parabolica, o SAPI (dall'inglese Stochastic Approximation with Parabolic Interpolation), che si prefigge di risolvere la questione applicando i principi dell'ottimizzazione stocastica. L'idea di base è quella di ridefinire la stima della covarianza come un problema di ottimizzazione, caratterizzato da una funzione obiettivo – dipendente dalla covarianza stessa – il cui minimo costituisce esattamente la covarianza ricercata. In questi termini la funzione obiettivo non è nient'altro che una metrica che esprime la qualità delle prestazioni del filtro di Kalman, e che diviene il fulcro per trovare una soluzione capace di farlo operare in condizioni (quasi) ottimali. Il metodo proposto risulta concettualmente molto semplice ma qualitativamente valido, che vanta un costo computazionale molto ridotto rispetto a talune classi di metodi dello stato dell'arte e stime della covarianza ragionevolmente accurate.
Tesi di laurea Magistrale
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