Contributions to quaternionic operator theory and applications

This thesis generalises classical techniques for complex linear operators to quaternionic linear operators and explores their possible applications. 1) The S-functional calculus, the generalisation of the holomorphic Riesz-Dunford functional calculus, is defined for unbounded operators directly via an integral formula. This extended the class of admissible operators as compared to the existing approaches in the literature. Furthermore its properties, in particular the generation of Riesz projectors and the compatibility with polynomials are studied in detail. 2) The Phillips functional calculus for infinitesimal generators of strongly continuous groups, which is based on the Laplace-Stieltjes transform, is extended to the quaternionic setting. 3) The H-Infinity-functional calculus is introduced in its full generality (a version making stronger assumptions on the operator has already been studied in the literature). In particular precise proofs of the spectral mapping theorem and the composition rule of this functional calculus are developed. 4) Using the above techniques, three different approaches for defining fractional powers of operators are extended to the quaternionic setting. One of them is an application of the previously studied H-Infinity-functional calculus. It allows to deduce the famous Balakrishnan-formula, which is essential for possible applications in the field of fractional diffusion mentioned below. 5) The minimal structure necessary for developing quaternionic operator theory is identified. Usually quaternionic operator theory is, for technical reasons, developed under the assumption that vectors can be multiplied with quaternionic scalars from both sides. A quaternionic right linear operator is however only associated with the right linear structure on the space, that is with the multiplication of vectors with scalars from the right. We show that the essential concepts and functional calculi actually do not depend on the left multiplication. They can be expressed only in terms of the right linear structure on the space. As a byproduct we obtain that the quaternionic theory is consistent with the complex linear theory under each imbedding of the complex numbers into the quaternions. 6) A concise theory of spectral integration is developed. It unifies the different existing approaches and removes some of their problems (in particular the requirement to randomly introduce structures that are not determined by any of the given mathematical objects). Furthermore, it also extends smoothly to the Banach space setting and has a clear interpretation in terms of the right linear structure of the space. 7) Based on the above theory of spectral integration, we developed the theory of bounded quaternionic linear spectral operators. We study the spectral decomposition and the canonical decomposition of such operators and their behaviour under the S-functional calculus. 8) We develop the spectral theory of the nabla operator – the quaternionification of divergence and gradient. This allows us to deduce the fractional heat equation by applying quaternionic techniques to the gradient operator. The used techniques provide a tool for deducing new fractional evolution equations in the future. In particular these equations might be derived from Fourier's laws with non-constant thermal conductivity coefficients, which could model non-homogenous materials. 9) Quaternionic operators were originally studied because of their applications in quaternionic quantum mechanics. This formulation of quantum mechanics seemed to be not equivalent to the usual complex formulation. We conjecture that this is not correct and provide an idea how quaternionic quantum systems can be considered simply as the quaternionification of complex quantum systems so that both formulations turn out to be equivalent. For relativistic elementary systems, we show that this reduction is always possible.

Questa tesi generalizza tecniche classiche della teoria dei operatori complessi ad operatori quaternionici ed esplora le loro applicazioni. 1) Il calcolo funzionale slice-iperolomorfo, che generalizza il calcolo funzionale olomorfo di Riesz e Dunford, è definito per gli operatori illimitati direttamente tramite una formula integrale. Ciò ha esteso la classe degli operatori ammissibili rispetto agli approcci esistenti. Inoltre, le sue proprietà, in particolare la generazione dei proiettori di Riesz e la compatibilità con i polinomi, sono studiate in dettaglio. 2) Il calcolo funzionale di Phillips per generatori infinitesimali di gruppi fortemente continui, che è basato sulla trasformata di Laplace-Stieltjes, è esteso al caso quaternionico. 3) Il calcolo funzionale H-∞ è stato introdotto in tutta la sua generalità (una versione con più pesanti ipotersi sull'operatore è già stata studiata in letteratura). In particolare vengono dimostrati il teorema della mappa spettrale e la regola di composizione di questo calcolo funzionale. 4) Utilizzando le tecniche di cui sopra, sono stati studiati tre diversi approcci per definire le potenze frazionarie degli operatori quaternionici. Uno di questi è un'applicazione del calcolo funzionale H-∞ precedentemente studiato che permette di dedurre la famosa formula di Balakrishnan, la quale è essenziale per le applicazioni alla diffusione frazionaria che è menzionata di seguito. 5) Viene identificata la struttura minima necessaria per sviluppare la teoria degli operatori quaternionici. Di solito la teoria degli operatori quaternionici è, per ragioni tecniche, sviluppata partendo dal presupposto che i vettori possono essere moltiplicati con scalari quaternionici sia a destra che a sinistra. Un operatore lineare destro quaternionico è tuttavia associato solo alla struttura lineare nello spazio, cioè alla moltiplicazione di vettori con scalari da destra. Mostriamo che i concetti essenziali e i calcoli funzionali in realtà non dipendono dalla moltiplicazione a sinistra, ma possono essere espressi solo in termini di struttura lineare nello spazio. Come sottoprodotto otteniamo che la teoria quaternionica sia coerente con la teoria lineare complessa. 6) Viene sviluppata una teoria generale dell'integrazione spettrale, che unifica i diversi approcci esistenti e rimuove alcuni dei loro problemi (in particolare la necessità di introdurre strutture non determinate da nessuno degli oggetti matematici considerati). Inoltre, questa teoria si estende agli spazi di Banach quaternionici e ha un'interpretazione chiara in termini della struttura lineare dello spazio. 7) Sulla base della suddetta teoria dell'integrazione spettrale, abbiamo sviluppato la teoria degli operatori spettrali lineari quaternionici limitati. Studiamo la decomposizione spettrale e la decomposizione canonica di tali operatori e il loro comportamento sotto l' S-calcolo funzionale. 8) Sviluppiamo la teoria spettrale dell'operatore della nabla - la quaternionificazione della divergenza e del gradiente. Questo ci permette di dedurre l'equazione del calore frazionaria applicando tecniche quaternioniche all'operatore gradiente. Le tecniche utilizzate forniscono uno strumento per dedurre nuove equazioni di evoluzione frazionarie. In particolare queste equazioni possono essere derivate dalle leggi di Fourier con coefficienti di conduttività termica non costante, che modellano materiali non omogenei. 9) Gli operatori quaternionici furono originariamente studiati per le loro applicazioni nella meccanica quantistica quaternionica. Questa formulazione della meccanica quantistica sembrava non essere equivalente alla solita formulazione complessa. Noi congetturiamo che ciò non sia corretto e forniamo un'idea di come i sistemi quantici quaternionici possano essere considerati semplicemente come la quaternionificazione di sistemi quantistici complessi in modo che entrambe le formulazioni risultino equivalenti. Per i sistemi elementari relativistici, dimostriamo che questa riduzione è sempre possibile.