Isogeometric hierarchical model reduction for parameter-dependent problems

In hemodynamic or hydrodynamic contexts, numerical modeling of problems characterized by a leading direction have been recently faced with new methods that reduce the computational costs without compromising the solution accuracy. These strategies, named Hierarchical Model Reduction (HiMod) methods, are suitable for rectilinear domains but have been extended to curvilinear and complex geometries by the use of Isogeometric Analysis(IGA). In view of control problems that require to rapidly solve a large number of parameter-dependent problems for different choices of the parameter of interest, this technique (HiMod) has then been combined with other efficient reduction strategies. In this thesis we merge the HigaMod strategy with the Proper Orthogonal Decomposition(POD), formulating the new named HigaPod model reduction procedure. Several versions of the method are proposed, characterized by the reliability of HigaMod and the computational efficiency of POD, and are applied to linear and non linear problems. However, in the presence of a general nonlinearity, the standard POD technique reduces the problem dimension by decreasing the amount of present variables, but the computational complexity at evaluating the non linear terms remains that of the original problem. For this reason, another dimension reduction method called Discrete Empirical Interpolation Method(DEIM) is introduced and combined with HigaPod, to form the computational efficient HigaPodDeim strategy.

In constesti emodinamici e idrodinamici, la modellazione numerica di problemi caratterizzati da una direzione dominante lungo la quale si sviluppano le dinamiche rilevanti, é stata recentemente affrontata con nuovi metodi che riducono i costi computazionali senza compromettere l’accuratezza della soluzione. Queste tecniche, chiamate Metodi di Riduzione Gerarchica di Modello (HiMod) sono adatte al caso di domini rettilinei ma sono state estese al caso di geometrie curvilinee o geometrie complesse grazie all’utilizzo dell’Analisi Isogeometrica (IGA). Pensando a problemi di controllo che richiedono di risolvere rapidamente un grande numero di problemi parametrici per diverse scelte del parametro d’interesse, questa tecnica (HiMod) é stata poi combinata ad altri efficienti metodi di riduzione di modello. In questa tesi combiniamo per la prima volta HigaMod con la Proper Orthogonal Decomposition(POD), formulando la nuova procedura di riduzione qui chiamata HigaPod. Diverse versioni del metodo vengono proposte, caratterizzate dall’affidabilitá di HigaMod e dall’efficienza computazionale della POD, poi applicate a problemi lineari e non lineari. Tuttavia, in presenza di una qualsiasi non linearitá, le classica tecnica della POD riduce le dimensioni del modello nel senso che sono presenti molte meno variabili, ma la complessitá computazionale nel valutare i termini non lineari rimane quella del problema originale. Per questo motivo un altro metodo di riduzione chiamato Discrete Empirical Interpolation Method(DEIM) é introdotto e combinato con HigaPod, per formare l’efficiente metodo di riduzione chiamato HigaPodDeim.