An adjoint based topology optimization for flows including heat transfer

The continuous adjoint approach to topology optimization is a new and active area of research in computational fluid dynamics, particularly for internal flows applications. The present work addresses the development of an open source CFD solver for topology optimization of fluids with heat transfer. One possible ultimate industrial application for such optimization tool is the design of heat exchangers. The professional finite volume library OpenFOAM has been used for the solver implementation. The study of optimization methods is the central topic of this work: two control problems are presented and specialized to the study case of natural convection in a 2D cavity, in laminar regime. A different treatment of the thermal properties on the solid portion of the domain distinguishes the two control problems. Their continuous adjoint formulations are derived for a chosen cost function. Two algorithms are also proposed for the iterative resolution of the problems. Finally a series of test cases is meant to validate the results of these studies. The two control problems give satisfactory results, providing a good starting point for further applications in more complex cases.

I problemi di ottimizzazione sono un argomento trattato con molto interesse in diversi campi di studio ed in particolare in molte scienze applicate. In ingegneria, il tema dell’ ottimizzazione è generalmente legato alla ricerca di un “design ottimo” che massimizzi le prestazioni di un dato sistema rispetto ad un obiettivo specifico. Questo lavoro in particolare è incentrato sullo sviluppo di un codice CFD open source per l’ ottimizzazione topologica (mediante operatore aggiunto) di problemi fluidodinamici incomprimibili con scambio termico. L’ obiettivo è quello di creare i presupposti di base per l’ utilizzo del codice in problemi di rilevanza ingegneristica e industriale, quali ad esempio la progettazione di scambiatori di calore. Trattandosi di uno studio rivolto prevalentemente ai metodi di ottimizzazione, si è considerato come unico problema modello quello della convezione naturale in una cavità 2D, in regime laminare. Tale scelta è legata essenzialmente a due motivi: il primo è quello di voler sviluppare un modello termo-fluidodinamico più completo, comprendente cioè l’ effetto delle forze di galleggiamento sul moto complessivo del fluido, trascurabile nel caso di convezione forzata. Il secondo motivo è invece legato ai vantaggi di lavorare con una geometria chiusa, fra i quali la semplicità delle condizioni al contorno. \\ L' obiettivo del problema di ottimizzazione è minimizzare un dato funzionale, detto di costo, dipendente dalla soluzione del problema fluidodinamico oggetto di studio. A tal fine, è necessario introdurre una funzione di controllo, la cui variazione ha effetto sulla soluzione del problema fluidodinamico e dunque sul funzionale costo. Nell’ ottimizzazione topologica la funzione di controllo è definita come un campo di porosità che determina in quale regione del dominio doverebbe esserci fluido e in quale invece dovrebbe esserci solido, affinché il funzionale costo venga minimizzato. Il design ottimo emerge infine dalla distribuzione di porosità nel dominio. Un tema centrale dei problemi di ottimizzazione è il calcolo del gradiente della funzione costo rispetto al controllo. Infatti, molti metodi di ricerca di minimo funzionale si basano sulle informazioni contenute nel gradiente per trovare la soluzione ottima. Se si considerano i classici schemi alle differenze finite, il calcolo del gradiente risulta solitamente piuttosto oneroso ed il suo costo aumenta proporzionalmente all’ aumentare del numero di variabili di controllo. Il metodo aggiunto costituisce la migliore alternativa al calcolo del gradiente, in quanto permette di svincolarlo dal numero di variabili di controllo: il gradiente viene calcolato a partire dalle soluzioni del problema primale (cioè il problema fluidodinamico) e aggiunto (ricavato dal primale). Poichè il costo unitario di una simulazione CFD è elevato ed il numero di variabili di design è piuttosto alto in un tipico problema di ottimizzazione topologica, il metodo aggiunto è certamente una scelta vincente. Nel presente lavoro vengono presentati due distinti problemi di controllo e per ciascun problema le formulazioni aggiunte sono ricavate e dettagliate seguendo un approccio Lagrangiano. Per la risoluzione iterativa dei problemi di controllo si considerano due algoritmi: il primo, descritto in [16], è detto approccio “one shot” e consiste in una valutazione del gradiente ad ogni iterazione del problema primale ed aggiunto, utilizzando quantità solo parzialmente a convergenza. Il secondo si propone come approccio più “classico” in cui il gradiente viene calcolato dopo che il problema primale ed aggiunto sono a convergenza. Inoltre, per questo secondo approccio, sono state studiate alcune soluzioni per migliorare le prestazioni del processo di ottimizzazione. I problemi di stato (primale ed aggiunto) e l' intero processo di ottimizzazione sono stati risolti con la libreria a volumi finiti OpenFOAM. Sono stati condotti alcuni test numerici i cui risultati mostrano la bontà delle formulazioni e delle implementazioni dei problemi di controllo. In particolare il secondo algoritmo si è dimostrato più affidabile e robusto del primo, a dimostrazione dell' efficacia del lavoro svolto per migliorarne le prestazioni.