Application of optimal transport to a congestion traffic model

The work starts with a review of the general theory of optimal transport, in which the most important results and their consequences have been recalled. Then, this theory has been applied to the study of some traffic models. The starting point has been a model introduced by Beckmann in the ’50s, called continuous model of transportation, which takes the form of a divergence constraint optimization problem. The Beckmann’s problem has been studied in relation to a proper Monge-Kantorovich one, and it has been proven that, under some hypothesis, they admit the same solution. Consequently, the model has been complicated in order to take care of more complex phenomena. Supposing that the Beckmann’s problem is studying a traffic situation, its formulation has been changed with the aim of considering congestion effects, understand if there are still connections with the optimal transport theory and if a meaningful notion of equilibrium can be found. After dealing with difficult technicalities issues, an interesting result has been studied: the solution of the congestion traffic model solves a peculiar Monge-Knatorovich one, where the cost function depends on the solution of the problem itself. Moreover, the solution also satisfies a very famous notion of equilibrium in the finite network case, the Wardrop equilibrium. This notion says that almost all the used path are geodesics with respect to the metric of the problem, but, also in this case, the metric is unknown and depends on the solution. This last result underlines that there is the presence of a non-cooperative equilibrium, which occurs since congestion effects force agents to become selfish and competitive with each other.

In questo lavoro, è stata prima di tutto ripercorsa la teoria del trasporto ottimo, analizzandone i principali risultati e le loro conseguenze. Il passo successivo è stato applicare questa teoria allo studio di determinati modelli di traffico. Il punto di partenza è stato un modello introdotto da Beckmann negli anni 50, chiamato modello continuo di trasporto, che assume la forma di un problema di minimizzazione soggetto a un vincolo in forma di divergenza. È stato analizzato come il problema di Beckmann sia legato a un certo problema di Monge-Kantorovich e, sotto le opportune ipotesi, è stato dimostrato che i due problemi ammettono la stessa soluzione. Il passo successivo è stato quello di complicare il modello, al fine di tenere in considerazione fenomeni e dinamiche più complesse. Immaginando che il modello di Beckmann simuli una situazione di traffico, è stato studiato come modificare la sua formulazione al fine di modellizzare gli effetti negativi dovuti alla congestione, domandandosi se si possa trovare, anche in questo caso, una connessione con la teoria del trasporto ottimo e se esiste una nozione rilevante di equilibrio. Affrontando una serie di difficoltà tecniche, il risultato più interessante che viene presentato è che la soluzione del modello di traffico congestionato risolve un particolare problema di Monge-Kantorovich, dove la funzione costo dipende dalla soluzione stessa. Inoltre la soluzione soddisfa una nozione di equilibrio, molto famosa nel contesto dei network finiti: l’equilibrio di Wardrop. Tale nozione afferma che quasi ogni percorso utilizzato è una curva geodesica rispetto alla metrica del problema, che nel caso trattato non è a priori nota, ma dipende essa stessa dalla soluzione. Quest’ultimo risultato sottolinea che si è in presenza di un equilibrio non cooperativo, conseguenza degli effetti della congestione sugli agenti, i quali sono spinti ad assumere un atteggiamento competitivo gli uni con gli altri.