Reflected backward stochastic differential equations driven by marked point processes and applications to optimal stopping and optimal switching

In the present work, we focus on some control problems for a rather general class of marked point processes. We assume these processes to be non-explosive and quasi-left continuous, which translate to having a continuous compensator. In particular we define and treat optimal stopping and optimal switching problems where the randomness comes from this type of processes, as well from a diffusive part. The problems are formulated in a general non-markovian way, so a natural tool to solve them are backward stochastic differential equations. Thus we establish, under suitable assumptions, existence and uniqueness results for a class of reflected BSDE driven by an integer random measure and a Wiener process. This is done first in the case of a given cadlag obstacle, and later in the case where these equations form a system and the obstacle depends on the solutions to the other components to the system. Due to the nature of the compensator of the point process, we solve the problem in “weighted” L2 spaces, where the weight depends on the compensator. The solutions to these equations are then used to represent the value function to an optimal stopping problem and to an optimal switching problem, respectively. In the latter problem, we allow the switching mode to modify the dynamic of the point process through a change in its compensator and thus in the probability under which we consider it. In both cases we obtain the usual characterizations of the optimal strategies as hitting times of the solution into the obstacle. In the optimal stopping problem, we also consider the control randomization approach and related constrained BSDE. In the process of obtaining these results we also extend some other typical tools in BSDE theory to the case of marked point processes, like the comparison theorem or a simple version of the monotonic limit theorem.

In questo lavoro studiamo alcuni problemi di controllo stocastico per una classe generale di processi di punto marcato. Assumiamo che tali processi siano non esplosivi e quasi-continui da sinistra, che equivale ad avere un compensatore continuo. In particolare definiamo e trattiamo problemi di arresto ottimo e commutazione ottimale, in cui l’aleatorietà deriva da questo tipo di processi, così come da una parte diffusiva. I problemi sono formulati in un modo non-markoviano, per cui uno strumento naturale per risolverli sono le equazioni differenziali stocastiche all’indietro (BSDE). Quindi stabiliamo, sotto ipotesi appropriate, risultati di esistenza e unicità per una classe di BSDE riflesse guidate da una misura aleatoria a valori interi e un processo di Wiener. Questo viene fatto prima nel caso di un ostacolo noto, e in seguito nel caso in cui queste equazioni formano un sistema e l’ostacolo dipende dalle soluzioni alle altre componenti del sistema. A causa della natura del compensatore del processo di punto, risolviamo il problema in spazi L2 “pesati”, dove il peso dipende dal compensatore. Le soluzioni a queste equazioni sono poi utilizzate per rappresentare la funzioni valore di un problema di arresto ottimo e di commutazione ottimale, rispettivamente. Nel secondo problema, il modo di commutazione modifica la dinamica del processo di punto tramite un cambio nel compensatore e dunque nella probabilità sotto quale lo consideriamo. In entrambi i casi otteniamo la caratterizzazione usuale delle strategie ottimali come tempi di contatto fra soluzione e ostacolo. Nel caso di arresto ottimo, consideriamo anche l’approccio a “randomizzazione” e la BSDE con vincoli associata. Nell’ottenere questi risultati, estendiamo anche alcuni strumenti tipici della teoria delle BSDE al caso di processi di punto marcato, come il teorema di confronto o una versione semplice del teorema di limite monotono.