Quantitative bounds for solutions of nonlinear diffusion equations of porous medium type

This thesis studies several problems regarding nonlinear diffusion equations of porous medium type. In the first chapter we provide smoothing and asymptotic properties for solutions of the initial and boundary value problem associated to a filtration equation with homogeneous Neumann boundary conditions, under appropriate assumptions on the nonlinearity. Such assumptions allow for the nonlinearity to behave as two possibly different powers at zero and at infinity. The smoothing estimates are provided by means of nontrivial modifications of well-established Moser iterations, where the domain is not assumed to be bounded. The second part of Chapter 1 is devoted to describing the asymptotic behavior of the solutions in the case where the domain has finite measure: as in the case of the porous medium equation it is shown that solutions converge to the mean value of the initial datum with a rate of convergence which is polynomial if the mean value is zero, and exponential otherwise. In Chapter 2 we provide a new proof of a Harnack-type inequality for nonnegative solutions of the porous medium equation posed on the whole Euclidean space, known as the Aronson-Caffarelli estimate. The proof is based on the asymptotic properties of the Green function. We then use such estimate to solve the initial trace problem, namely to prove existence, uniqueness and growth properties of the initial trace of a nonnegative solution of the porous medium equation. In Chapter 3 we study the initial trace problem for the porous medium equation posed on the hyperbolic space. The main tool is an Aronson-Caffarelli-type estimate, which is obtained by using the asymptotic properties of the Green function on the hyperbolic space. Using this estimate we show that any nonnegative solution of the porous medium equation on the hyperbolic space has a unique initial trace which satisfies a suitable growth condition.

La presente tesi affronta diversi problemi riguardanti equazioni di diffusione nonlineari di tipo mezzi porosi. Nel primo capitolo vengono presentate alcune proprietà asintotiche e di regolarizzazione per soluzioni del problema ai valori iniziali e al contorno associato ad una equazione di filtrazione con condizioni al bordo omogenee di tipo Neumann, sotto opportune ipotesi sulla nonlinearità. Tali ipotesi consentono un comportamento di tipo potenza a zero e all’infinito, con due esponenti eventualmente diversi. Le stime di regolarizzazione (dette anche di smoothing) vengono ottenute attraverso un opportuno riadattamento di alcune ben note tecniche di iterazione dette di Moser, questa volta senza ipotesi di limitatezza sul dominio. La seconda parte del primo capitolo è dedicata alla descrizione del comportamento asintotico delle soluzioni nel caso in cui il dominio ha misura finita: come nel caso dell’equazione dei mezzi porosi viene mostrato che le soluzioni convergono al valor medio del dato iniziale con un tasso di convergenza che è polinomiale se il valor medio è zero, ed esponenziale altrimenti. Nel Capitolo 2 viene fornita una nuova dimostrazione di una disuguaglianza di tipo Harnack per soluzioni nonnegative dell’equazione dei mezzi porosi posta in tutto lo spazio Euclideo, nota come stima di Aronson-Caffarelli. La dimostrazione sfrutta le proprietà asintotiche della funzione di Green. Tale stima viene poi usata per risolvere il problema della traccia iniziale, ovvero per dimostrare esistenza, unicità e proprietà di crescita della traccia iniziale di una soluzione nonnegativa dell’equazione dei mezzi porosi. Nel Capitolo 3 viene affrontato lo studio del problema della traccia iniziale per l’equazione dei mezzi porosi posta nello spazio iperbolico. Lo strumento principale è una stima di tipo Aronson-Caffarelli, che viene ottenuta usando le proprietà asintotiche della funzione di Green sullo spazio iperbolico. Usando tale stima viene mostrato che ogni soluzione nonnegativa dell’equazione dei mezzi porosi nello spazio iperbolico ha un’unica traccia iniziale che soddisfa una opportuna condizione di crescita.