Regression with PDE penalization for modelling functional data with spatial and spatio-temporal dependence

We propose and analyze new methods for modelling spatially and spatio-temporal dependent functional data, based on regression with differential regularization. In these methods, the regularizing term enables to include problem-specific information about the spatial or spatio-temporal variation of the phenomenon under study, formalized in terms of partial differential equations. In addition, the methods can comply with specific conditions at the boundary of the domain of interest. The methods are implemented using a discretization based on finite elements in space and finite differences or B-splines in time. In the first part of the work, combining functional analysis, statistical and numerical analysis methodology, we prove the consistency of the estimator in the spatial setting, when the number of observations grows to infinity. The consistency is proved both for the continuous estimator and the finite element estimator. In the second part of the work, we deal with spatio-temporal data. The proposed methods can comply with different experiment designs, like pointwise and areal observations, both in space and in time.

In questa tesi si propongono e analizzano nuovi metodi per modellizzare dati funzionali spazio e spazio-tempo dipendenti, basati su modelli di regressione con regolarizzazione differenziale. In questi metodi, il termine di regolarizzazione consente di includere informazioni specifiche del problema riguardo alla variazione spaziale o spazio-temporale del fenomeno oggetto di studio, formalizzata in termini di equazioni alle derivate parziali. Inoltre, questi modelli permettono di includere condizioni specifiche che la soluzione del problema deve soddisfare ai bordi del dominio di interesse. I metodi sono implementati usando una discretizzazione basata su elementi finiti nello spazio e differenze finite o B-spline nel tempo. Nella prima parte del lavoro, combinando metodologie di analisi funzionale, statistica e analisi numerica, si dimostra la consistenza dello stimatore nel caso di dati spazio-dipendenti, quando il numero di osservazioni cresce all'infinito. La consistenza è dimostrata sia per lo stimatore continuo che per lo stimatore discretizzato con gli elementi finiti. La seconda parte del lavoro si occupa di modelli per dati con dipendenza spazio-temporale. I metodi proposti possono essere usati in presenza di diversi design di campionamento, come ad esempio osservazioni puntuali o areali, sia nello spazio che nel tempo.