Hybrid differential dynamic programming algorithm for low-thrust trajectory design using exact high-order transition maps

Optimal orbital trajectories are obtained through the solution of highly nonlinear large scale problems. In the case of low-thrust propulsion applications, the spacecraft benefits from high specific impulses and, hence, greater payload mass. However, these missions require a high count of orbital revolutions and, therefore, display augmented sensitivity to many disturbances. Solutions to such problems can be tackled via a discrete approach, using optimal feedback control laws. Historically, differential dynamic programming has shown outstanding results in tackling these problems. A state of the art software that implements a variation of DDP has been developed by Whiffen and is used by NASA’s Dawn mission. One of the latest techniques implemented to deal with these discrete constrained optimizations is the Hybrid Differential Dynamic Programming (HDDP) algorithm, introduced by Lantoine and Russell. This method complements the reliability and efficiency of classic nonlinear programming techniques with the robustness to poor initial guesses and the reduced computational effort of DDP. The key feature of the algorithm is the exploitation of a second order state transition matrix procedure to propagate the needed partials, decoupling the dynamics from the optimization. In doing so, it renders the integration of dynamical equations suitable for parallelization. Together with the possibility to treat constrained problems, this represents the greatest improvement of classic DDP. Nevertheless, the major limitation of this approach is the high computational cost to evaluate the required state transition matrices. Analytical derivatives, when available, have shown a significant reduction in the computational cost and time for HDDP application. This work applies differential algebra to HDDP to cope with this limitation. In particular, differential algebra is introduced to obtain state transition matrices as polynomial maps. These maps come directly from the integration of the dynamics of the system, removing the dedicated algorithmic step and reducing its computational cost. Moreover, by operating on polynomial maps, all the solutions of local optimization problems are treated through differential algebraic techniques. This approach allows us to deal with higher order expansions of the cost, without modifying the algorithm. The leading assumption of this work is that, treating higher than second order expansions, grants larger radii of convergence for the algorithm, improved robustness to initial guesses, hence faster rates of convergence. Examples are presented in this thesis to assess the performance of the newly constructed algorithm and to test the assumptions.

Le traiettorie orbitali ottimali sono ottenute attraverso la soluzione di problemi su larga scala altamente non lineari. Nel caso di applicazioni di propulsione a bassa spinta, il veicolo spaziale trae vantaggio dall'aumento di impulso specifico e, quindi, si ottiene una maggiore massa del carico utile. Tuttavia, queste missioni richiedono un alto conteggio di rivoluzioni orbitali e, quindi, la sensibilità verso molti disturbi aumenta. Soluzioni a tali problemi possono essere affrontate tramite un approccio discreto, utilizzando delle leggi di controllo feedback ottimali. Storicamente, la programmazione dinamica differenziale (DDP) ha mostrato risultati eccezionali nell'affrontare questi problemi. Un software all'avanguardia che implementa una variante di DDP è stato sviluppato da Whiffen ed è usato dalla missione Dawn della NASA. Una delle tecniche più recenti implementate per gestire questi problemi discreti per ottimizzazioni vincolate è l'algoritmo HDDP (Hybrid Differential Dynamic Programming), introdotto da Lantoine e Russell. Questo metodo integra l'affidabilità e l'efficienza di classiche tecniche di programmazione non lineare con la robustezza a pessime condizioni iniziali e ridotto sforzo computazionale tipico di DDP. La caratteristica fondamentale dell'algoritmo è lo sfruttamento di una procedura di secondo ordine per la propagazione delle matrici di transizione dello stato, che disaccoppia le dinamiche dall'ottimizzazione. In tal modo, l'integrazione di equazioni dinamiche viene resa adatta ad essere svolta in parallelo. Insieme alla possibilità di trattare problemi vincolati, questo rappresenta il più grande miglioramento del classico DDP. Tuttavia, la principale limitazione di questo approccio è l'alto costo computazionale necessario a valutare le matrici di transizione di stato richieste. Derivate ​​analitiche, se disponibili, hanno mostrato una riduzione significativa dei costi e dei tempi di calcolo per l'applicazione di HDDP. Questo lavoro applica l'algebra differenziale a HDDP per far fronte a questa limitazione. In particolare, l'algebra differenziale viene introdotta per ottenere matrici di transizione di stato come mappe polinomiali. Queste mappe sono ottenute direttamente dall'integrazione delle dinamiche del sistema, rimuovendo il passo algoritmico dedicato e riducendo il suo costo computazionale. Inoltre, operando su mappe polinomiali, tutte le soluzioni di problemi locali di ottimizzazione vengono trattate attraverso tecniche algebriche differenziali. Questo approccio ci consente di affrontare le espansioni di ordine superiore della funzione di costo, senza modificare l'algoritmo. L'ipotesi principale di questo lavoro è che, trattando espansioni più alte del secondo ordine, garantisca maggiori raggi di convergenza per l'algoritmo, maggiore robustezza alle ipotesi iniziali e ,quindi, ratei di convergenza più rapidi. Alcuni esempi sono presentati in questa tesi per valutare le prestazioni del nuovo algoritmo e per testare le ipotesi.