A reduced basis method for electrophysiology : propagating steep front by L1-norm minimization

The FitzHugh-Nagumo equation describes the propagation of an active potential across excitable cells and often produces travelling waves with a steep front. Solving the problem repeatedly or on a complex domain may become infeasible and many real applications require a quick evaluation for different values of the coefficients. This is the case of a recent field of application, medicine, where mathematics has spread more and more in the last years. In particular, the Reduced Basis methods are all the rage. The most popular is Proper Orthogonal Decomposition, which has been widely applied to this problem, but it proved to be unsuitable in some circumstances. For this reason, we propose a different approach, based on a work by R. Abgrall at al., consisting in a L1-norm minimization of the residual, to efficiently capture the steep front while reducing the computational costs. Despite this method is not yet mature, some interesting results have been reached so far.

L'equazione di FitzHugh-Nagumo descrive la propagazione di un potenziale attivo attraverso cellule eccitabili e spesso genera onde viaggianti con un fronte ripido. La soluzione ripetuta o su domini complessi del problema può diventare impraticabile e molte applicazioni reali necessitano di una risposta rapida per diversi valori dei coefficienti. E' il caso di un recente campo di applicazione, la medicina, in cui la matematica ha trovato larga diffusione negli ultimi anni. In particolare i metodi a basi ridotte vanno per la maggiore. Il più famoso è la Proper Orthogonal Decomposition, largamente applicata anche a questo problema, che tuttavia si è dimostrata inadatta in alcune situazioni. Perciò viene qui proposto un approccio differente, basato sui lavori di R. Abgrall e R. Crisovan, che consiste in una minimizzazione in norma L1 del residuo, per catturare efficaciemente il fronte, riducendo allo stesso tempo il costo computazionale. Malgrado il metodo sia ancora in fase di perfezionamento, si sono raggiunti ad oggi risultati promettenti.