Random domain decompositions for anisotropic random fields

This work is collocated in the area of statistics for geo-referenced data. The research aims to introduce a new methodology for the estimation of anisotropy in spatial fields in the framework of Random Domain Decompositions (RDD), a nonparametric approach, developed previously, which relaxes distribution hypotheses and adopts non-Euclidean metrics to allow the analysis of complex domains. The key element, completely innovative, around which this thesis is based, is the estimate of variable anisotropy with the use of the Random Domain Decompositions: initially a review of the theoretical criteria was carried out with the aim to the estimate a varying anisotropy, then the aggregation methodology was used, in a consistent way with the context of RDD. The problem of estimating anisotropy is recurrent in large and complex domains. Often the global anisotropic model is not reliable, it is more appropriate to perform an estimation within sub-regions of the domain, where local models could be estimated. The Random Domain Decompositions method divides the domain several times in micro-regions, within which, for each realization, it is possible to derive an estimate of local anisotropy. The aggregation of these estimates is not trivial, it has been implemented with the aggregation method in Riemann metric spaces. The proposed algorithm focuses on the implementation of the estimation of the variable anisotropy and on how these estimates are aggregated. To prove the validity of the new method, a field with a complex domain with variable anisotropy was simulated. In addition, the Random Domain Anisotropic methodology has been applied to the "Chesapeake Bay" dataset, which collects the dissolved oxygen (mg/l) inside the Chesapeake Bay. The analysis is carried out with the aim of estimating the variable anisotropy within the bay that has the peculiarity of presenting a very complex and irregular domain, suitable for the purpose. Since the presence of natural barriers can cause directional dependencies, the Anisotropic Random Domain Decompositions algorithm aims to capture these dependencies. Moreover, in this work the spatial prediction (Kriging) is considered anisotropic, to study if and how the introduction of the variable anisotropy influences the spatial prediction ability.

Il presente lavoro si colloca nell’ambito della statistica per dati georeferenziati. La ricerca si propone l'obiettivo di introdurre una nuova metodologia per la stima dell’anisotropia in campi spaziali nel contesto di riferimento della Random Domain Decompositions (RDD), approccio non parametrico, sviluppato precedentemente, che rilassa ipotesi distribuzionali e adotta l'applicazione di metriche non euclidee per consentire l’analisi di domini complessi. L'elemento chiave, del tutto innovativo, attorno a cui ruota questa tesi è la stima dell’ anisotropia variabile con l’utilizzo della Random Domain Decompositions: inizialmente è stata operata una disamina dei criteri teorici, in rapporto ai quali si è giunti alla determinazione dei punti cardine per il computo dell’anisotropia variabile, quindi si è proceduto all’utilizzo della metodologia di aggregazione, in modo coerente con il contesto della RDD. In domini ampi e complessi è ricorrente il problema della stima dell’anisotropia. Se, il più delle volte, risulta carente il modello globale anisotropo, è sicuramente più preciso e agevole l’indagine qui operata che evidenzia come la dipendenza direzionale cambi all' interno del dominio. Il metodo di Random Domain Decompositions ripartisce più volte il dominio in micro-regioni, all' interno delle quali, a ogni realizzazione, è possibile ricavare una stima di anisotropia locale. L'aggregazione di queste stime non è immediata, è stata implementata con la metodologia di aggregazione in spazi metrici di Rienmann. Le proposte algoritmiche si focalizzano sull' implementazione della stima dell’anisotropia variabile e su come queste stime siano aggregate. Per comprovare la validità del nuovo metodo, è stato simulato un campo con dominio complesso con anisotropia variabile. Inoltre, la metodologia dell' Anisotropic Random Domain è stata applicata al dataset “Chesapeake Bay”, che raccoglie la quantita di ossigeno (mg/l) dissolto all' interno della baia di Chesapeake. L' analisi è condotta con l’obiettivo di stimare l’anisotropia variabile all' interno della baia che possiede la peculiarità di presentare un dominio molto articolato e complesso, adatto allo scopo. Poiché la presenza di barriere naturali può provocare dipendenze direzionali, l’algoritmo di Random Domain Decompositions anisotropo mira a catturare queste dipendenze. Inoltre, in questo lavoro è considerata la previsione spaziale (Kriging) anisotropa, per studiare se e come l’introduzione dell’anisotropia variabile influenzi la capacità di previsione spaziale.