Energy-preserving model reduction of fluid flows

This thesis investigates stable reductions of Hamiltonian systems. While standard approaches are optimal according to L2 error functions, they do not preserve es- sential and delicate structures of the original systems, compromising the stability of the reduced model over long-time simulations. Even though stable reduced mod- els are generally expected as a reduction of stable systems, instabilities and blow up solutions have been observed for several classes of problems, in particular for dissipation-free hyperbolic PDEs. Ad hoc corrections of POD-DEIM technique, based on quadratic term expansion, can lead to energy preserving systems if applied to degenerate Hamiltonian systems characterized by a simple structure, such as Eu- ler equations and strongly turbulent Navier-Stokes equations. The price to pay is severe restrictions on the problem domain, boundary conditions and spatial dis- cretization schemes that can be adopted to numerically solve the problem. In case of canonical symplectic systems, the Cotangent Lift method and a more efficient sym- plectic greedy technique are examined, and their properties of energy conservation and stability are proved. DEIM based symplectic treatments of nonlinearities are also discussed to retain the computational efficiency of linear systems when deal- ing with nonaffine problems. The stability and accuracy of these two techniques are illustrated through numerical simulations of nonlinear shallow waters equations.

L’obiettivo di questa tesi è lo studio di modelli ridotti e stabili per la soluzione nu- merica di sistemi Hamiltoniani. Nonostante gli approcci standard forniscano risul- tati ottimali secondo funzioni errore basate sulla norma L 2 , essi non preservano strutture fondamentali dei sistemi originali, compromettendo la stabilità dei mod- elli ridotti per simulazioni su estesi intervalli temporali. L’aspettativa che la stabilità dei modelli ridotti sia garantita dalla stabilità dei relativi modelli completi è stato os- servato essere tradita da diverse classi di equazioni, in particolare EDP iperboliche caratterizzate dall’assenza di effetti dissipativi: per questi problemi l’insorgere di instabilità e soluzioni illimitate compromette la qualità dell’approssimazione. Cor- rezioni ad hoc della tecnica POD-DEIM, basate su espansioni del termine quadratico, possono portare a modelli ridotti conservativi se applicati a semplici sistemi Hamil- toniani degeneri, come quelli descritti dalle equazioni di Eulero e di Navier-Stokes nel caso di fluido fortemente turbolento. Il prezzo da pagare è una severa restrizione sul dominio del problema, sulle condizioni al contorno e sugli schemi numerici us- ati. Nel caso di sistemi simplettici canonici, il metodo Cotangent Lift ed un’efficiente tecnica greedy sono analizzati, soffermandoci in particolare sulla loro stabilità e pro- prietà di conservazione dell’energia. Tecniche simplettiche per il trattamento di non- linearità basate sul DEIM sono discusse per conservare l’efficienza computazionale ottenuta per sistemi lineari. Accuratezza e stabilità delle due tecniche considerate sono illustrate tramite simulazioni numeriche del sistema di equazioni delle acque basse.