Discontinuous Galerkin finite element method for the two-dimensional fully-compressible Navier-Stokes equations at microscale level

Microfluidics is becoming a popular multidisciplinary area having applications from classical engineering to biological and biomedical employments. Microfluidic flows can be modeled relying on both a continuum and molecular approach. In this thesis, the former, described by the fully-compressible Navier-Stokes equations, is adopted in order to solve the two-dimensional unsteady flow in a micro shock-tube problem. The two-dimensional fully-compressible Navier-Stokes equations (CNS) are discretized in space with the nodal discontinuous Galerkin finite element method (DG-FEM) extending the open source MATLAB code by Hesthaven and Warburton. The method, never tested before in the literature in the microflows context, takes advantages from both the classical finite element method (FEM) and finite volume method (FVM). In fact, the solution, defined in a specific broken Sobolev space, is approximated by discontinuous piecewise polynomial functions and the informations among different grid elements are shared defining a numerical flux at cells' interfaces, solving a local Riemann problem. The fully-compressible Navier-Stokes equations are derived from the classical conservation laws written in integral form and the nodal DG-FEM is introduced and applied for the space discretization of the CNS equations, highlighting the main aspects of the numerical scheme. Different explicit time integration methods are adopted and added in the existing code; van Albada type slope limiter for DG-FEM are also included. The microfluidic case considered is the benchmark problem proposed by Zeitoun et al. in 2009, whereas CNS equations in a FVM context, DSMC (Direct Simulation Monte Carlo) for the Boltzmann equation and the kinetic model BGKS (Bhatnagar-Gross-Krook with Shakhov equilibrium distribution function) models are used in order to numerically solve the shock wave propagation in a microchannel. A mesh refinement study is performed investigating error norms, computed order of accuracy and computational cost. The results showed good agreement with reference data and increasing accuracy as the grid is refined. The effect of different explicit Runge-Kutta schemes is studied and it is observed that the choice of the temporal scheme does not really affect the accuracy of the numerical results when fine grids are adopted. The results showed a core flow region before the shock wave and counter rotating vortices pair behind the shock itself. The shock gradually decelerates since viscous forces become predominant and a laminar boundary layer is formed behind it. The effect of higher Knudsen numbers is investigated both reducing the channel's height and the flow properties (density and pressure) in the microchannel in order to understand how the flow physics of the problem changes and the reliability of the continuum approach at different Knudsen regimes when DG-FEM is used. This study contributes to the literature by testing the performances of discontinuous Galerkin finite element method as shock-wave capturing scheme for compressible flows at microscale level. The outcomes of this analysis showed high accuracy level and reliability of the numerical scheme.

La microfluidica è un'area multidisciplinare avente applicazioni in diversi ambiti dell'ingegneria ed anche in ambito biologico e biomedico. La microfluidica può essere modellata utilizzando un approccio continuo o molecolare. In questa tesi, il primo modello è stato preso in considerazione risolvendo le equazioni bidimensionali instazionarie comprimibili di Navier-Stokes in un tubo d'urto miniaturizzato. Le equazioni di Navier-Stokes sono discretizzate a livello spaziale utilizzando il metodo agli elementi finiti discontinui di Galerkin (DG-FEM) modificando opportunamente il codice numerico MATLAB sviluppato da Hesthaven e Warburton. Questo metodo numerico, mai testato prima in problemi di microfluidica, è stato preso in considerazione poichè acquisisce vantaggi caratterizzanti sia il classico metodo agli elementi finiti che metodi ai volumi finiti. In questo schema infatti, la soluzione, definita in uno specifico spazio 'broken' di Sobolev, è approssimata da funzioni polinomiali discontinue definite a tratti; il problema di Riemann è poi risolto all'interfaccia delle celle definendo un opportuno flusso numerico. Si sono derivate le equazioni comprimibili di Navier-Stokes partendo dalle leggi di conservazione espresse in forma integrale, si è introdotto e applicato il metodo numerico per la discretizzazione spaziale delle equazioni sottolineandone gli aspetti fondamentali. Per l'integrazione temporale, diversi schemi espliciti di Runge-Kutta sono stati programmati nel codice. Inoltre limitatori di pendenza (slope limiters) di tipo van Albada adatti per DG--FEM sono stati inclusi. La propagazione di onde d'urto in un microcanale è stata studiata prendendo in considerazione il problema di Zeitoun che consiste in uno studio numerico di un tubo d'urto miniaturizzato considerando i seguenti modelli fisici e numerici: equazioni comprimibili di Navier-Stokes risolte utilizzando un codice ai volumi finiti, metodo di simulazione diretta Monte Carlo (DSMC) per l'equazione di Boltzmann e il modello cinetico BGKS (Bhatnagar-Gross-Krook con funzione di distribuzione di equilibrio di Shakhov). È stata condotta un'analisi di convergenza della griglia di calcolo studiandone la norma degli errori assoluti, l' ordine di accuratezza basato sulle norme ed il costo computazionale delle simulazioni. I risultati ottenuti hanno accuratezza crescente al raffinamento della griglia di calcolo. In aggiunta, è stata effettuata un'analisi sulla dipendenza dell'accuratezza della simulazione numerica dall'ordine dei metodi espliciti di Runge-Kutta: si è osservato che, utilizzando griglie di calcolo fitte, la scelta del metodo per l'integrazione temporale non influenza particolarmente l'accuratezza della soluzione. I risultati dimostrano l'esistenza di un nucleo nella regione antistante l'onda d'urto in cui la velocità orizzontale raggiunge il suo massimo ed una coppia di vortici contro rotanti dietro l'onda. Quest'ultima decelera gradualmente poichè le forze viscose diventano predominanti rispetto a quelle d'inerzia formandone uno strato limite laminare. Infine si è studiato l'effetto di numeri di Knudsen maggiori utilizzando due approcci differenti: riducendo l'altezza del canale e variando le proprietà del gas (densità e pressione) nella camere del microcanale. Questo è stato fatto al fine di capire come cambia la fisica del problema a diversi regimi del numero di Knudsen e di comprendere l'affidabilità del metodo numerico - ed in generale dell'approccio continuo - all'aumentare del numero di Knudsen. Lo studio condotto contribuisce alla letteratura testando le prestazioni del metodo agli elementi finiti discontinuo di Galerkin per problemi di microfluidica comprimibile. I risultati ottenuti hanno dimostrato un alto livello di accuratezza e affidabilità del metodo.