Stochastic methods for performance prediction of photonic integrated circuits

Integrated photonic is the field where optical devices (such as couplers, interferometers, and so on) can be incorporated on a chip by the use of dielectric waveguides. Technology progress in integrated photonic has resulted in the implementation of complex photonic circuits combining many functions on a single chip, significant production volumes and reduced fabrication costs. While standard fabrication technologies are an essential condition for the commercial exploitation of photonic, they still have to face an unavoidable reality of uncertainties. As photonic devices are much longer when compare to wavelength, a slight variation in device geometry can cause a dramatic phase error, especially for devices based on interferometers such as Mach-Zehnder and micro-ring resonators. Each fabrication run is subject to several possible variations (waveguide width or height deviation, improper gap opening, change in material composition and surface roughness) that may eventually cause a fabrication deviations that reduce the yield to low levels to be economically sustainable. This means that several realized devices, which are designed to be nominally the same, differ from one to another due to variations of fabrication process. As a result, the device response is no longer considered as deterministic but is more suitably interpreted as a stochastic process and the analysis of photonic circuit is incomplete without the inclusion of stochastic analysis due to the presence of unavoidable uncertainties. To obtain a design of a photonic circuit with high yield and reduce performance variation, it is essential to consider such uncertainties in process design kits and to isolate the most critical parameters of the circuits and to estimate and reduce the cost of post-fabrication correction of the process variability. Therefore, statistical data and efficient statistical tools to include this data to predict the statistical behaviour of the final circuit are becoming fundamental instruments in photonic. In this doctoral dissertation, we focus on exploration and development of statistical tools to predict the performance of the integrated photonic circuit in the presence of unavoidable fabrication uncertainties. To address the problem of post-fabrication correction and to isolate the most critical parameters of the circuit, advanced statistical methods were studied and applied. More specifically, we focus on the application of two sensitivity analysis techniques, namely Elementary Effect Test and Variance-Based Sensitivity Analysis to investigate the behaviour of a photonic circuit under fabrication uncertainties, with the aim to identify the most critical parameters affecting the circuits' performance. We demonstrate, for the first time, the possibility to use the results of these methods to reduce the power consumption for the mitigation of statistical variation of circuits' parameters and increase the yield. To include information on the effect of fabrication uncertainties in each building block, we propose a Building-Block-based Generalized Polynomial Chaos method (BB-gPC) by properly exploiting stochastic collocation and Galerkin methods to realize a completely novel class of device models for the preparation of stochastic process design kits. Using these proposed stochastic macro-models that inherently convey stochastic information, only a single deterministic simulation is required to compute the statistical features of any arbitrary photonic circuit, without the need of running a large number of time-consuming circuit simulations thereby dramatically improving simulation efficiency. The BB models, in the form of transmission or scattering matrices, are circuit independent and can be stored and replace the original deterministic macro-model of the building blocks in the process design kit. The new matrices can hence be combined according to the building blocks connections to derive with a single run of the deterministic circuit simulator the stochastic behaviour of any circuit. The stochastic properties of the BB can reflect for example the foundry technological process and they are embedded in the PDK and should not be recalculated for every circuit. In the last part of work, applications of the statistical methods (sensitivity analysis and generalized polynomial chaos) are discussed and demonstrated by means of relevant photonic circuit examples. Beside pure analysis purposes, we demonstrate the exploitation of sensitivity analysis results to estimate the cost of a post-fabrication correction of the process variability, for example in terms of energy dissipated for the compensation of the uncertainties, relating this to the maximum yield that can be achieved by the process. Next, for the first time, the use of generalized polynomial chaos technique is demonstrated for stochastic modelling of the photonic circuit from experimental data. The statistical properties of a circuit are correctly estimated from a reduced number of experimental characterizations, saving costly and time-consuming measurements whilst achieving good accuracy comparable to those obtained by Monte Carlo. This approach should help to test and to tune in future mass production technological processes. Lastly, the effect of spatial correlation on the yield of photonic devices is discussed and efficient method that includes the treatment of spatial correlation is presented.

La fotonica integrata è il campo in cui i dispositivi ottici (come accoppiatori, interferometri e così via) possono essere incorporati su un chip mediante l'uso di guide d'onda dielettriche. Il progresso della tecnologia nella fotonica integrata ha portato all'implementazione di complessi circuiti fotonici combinando molte funzioni su un singolo chip, significativi volumi di produzione e costi di fabbricazione ridotti. Mentre le tecnologie di fabbricazione standard sono una condizione essenziale per lo sfruttamento commerciale della fotonica, devono ancora affrontare una realtà inevitabile di incertezze. Poiché i dispositivi fotonici sono molto più lunghi rispetto alla lunghezza d'onda, una leggera variazione nella geometria del dispositivo può causare un drammatico errore di fase, specialmente per i dispositivi basati su interferometri come Mach-Zehnder e risuonatori a micro-anelli. Ogni ciclo di fabbricazione è soggetto a diverse possibili variazioni (larghezza della guida d'onda o deviazione dell'altezza, apertura del gap improprio, variazione della composizione del materiale e rugosità superficiale) che possono eventualmente causare deviazioni di fabbricazione che riducono la resa a livelli bassi per essere economicamente sostenibili. Ciò significa che diversi dispositivi realizzati, progettati per essere nominalmente uguali, differiscono da uno all'altro a causa delle variazioni del processo di fabbricazione. Di conseguenza, la risposta del dispositivo non è più considerata deterministica, ma viene interpretata più adeguatamente come un processo stocastico e l'analisi del circuito fotonico è incompleta senza l'inclusione dell'analisi stocastica dovuta alla presenza di incertezze inevitabili. Per ottenere un progetto di un circuito fotonico ad alto rendimento e ridurre la variazione delle prestazioni, è essenziale considerare tali incertezze nei kit di progettazione del processo e isolare i parametri più critici dei circuiti e stimare e ridurre il costo della correzione post-fabbricazione di la variabilità del processo. Pertanto, i dati statistici e gli strumenti statistici efficienti per includere questi dati per prevedere il comportamento statistico del circuito finale stanno diventando strumenti fondamentali nella fotonica. In questa tesi di dottorato, ci concentriamo sull'esplorazione e lo sviluppo di strumenti statistici per prevedere le prestazioni del circuito fotonico integrato in presenza di incertezze di fabbricazione inevitabili. Per affrontare il problema della correzione post-fabbricazione e per isolare i parametri più critici del circuito, sono stati studiati e applicati metodi statistici avanzati. Più in particolare, ci concentriamo sull'applicazione di due tecniche di analisi della sensibilità, vale a dire Elementary Effect Test e Variance-Based Sensitivity Analysis per indagare il comportamento di un circuito fotonico in incertezze di fabbricazione, con l'obiettivo di identificare i parametri più critici che influenzano le prestazioni dei circuiti . Dimostriamo, per la prima volta, la possibilità di utilizzare i risultati di questi metodi per ridurre il consumo di energia per la mitigazione della variazione statistica dei parametri dei circuiti e aumentare la resa. Per includere informazioni sull'effetto delle incertezze di fabbricazione in ogni blocco di costruzione, proponiamo un metodo di caos polinomiale generalizzato basato su building block (BB-gPC) sfruttando correttamente la collocazione stocastica e i metodi di Galerkin per realizzare una classe completamente nuova di modelli di dispositivi per il preparazione di kit di progettazione processo stocastico. Usando questi proposti macro-modelli stocastici che trasmettono intrinsecamente informazioni stocastiche, è necessaria solo una singola simulazione deterministica per calcolare le caratteristiche statistiche di qualsiasi circuito fotonico arbitrario, senza la necessità di eseguire un numero elevato di simulazioni circuitali che richiedono tempo e quindi migliorare drasticamente l'efficienza della simulazione . I modelli BB, sotto forma di matrici di trasmissione o scattering, sono indipendenti dal circuito e possono essere memorizzati e sostituiscono il modello macro deterministico originale degli elementi costitutivi nel kit di progettazione del processo. Le nuove matrici possono quindi essere combinate in base alle connessioni dei blocchi costitutivi per derivare con una singola esecuzione del simulatore di circuito deterministico il comportamento stocastico di qualsiasi circuito. Le proprietà stocastiche del BB possono riflettere ad esempio il processo tecnologico della fonderia e sono incorporate nel PDK e non dovrebbero essere ricalcolate per ogni circuito. Nell'ultima parte del lavoro, le applicazioni dei metodi statistici (analisi della sensibilità e caos polinomiale generalizzato) sono discusse e dimostrate mediante esempi di circuiti fotonici rilevanti. Oltre ai puri scopi di analisi, dimostriamo lo sfruttamento dei risultati dell'analisi di sensitività per stimare il costo di una correzione post-fabbricazione della variabilità del processo, ad esempio in termini di energia dissipata per la compensazione delle incertezze, correlandola al rendimento massimo che può essere raggiunto dal processo. Successivamente, per la prima volta, l'uso della tecnica del caos polinomiale generalizzato è dimostrato per la modellazione stocastica del circuito fotonico da dati sperimentali. Le proprietà statistiche di un circuito sono correttamente stimate da un numero ridotto di caratterizzazioni sperimentali, risparmiando costose e lunghe misurazioni pur ottenendo una buona accuratezza paragonabile a quelle ottenute da Monte Carlo. Questo approccio dovrebbe aiutare a testare e sintonizzare i futuri processi tecnologici di produzione di massa. Infine, viene discusso l'effetto della correlazione spaziale sulla resa dei dispositivi fotonici e viene presentato un metodo efficiente che include il trattamento della correlazione spaziale.