Impact probability computation for near earth asteroids through a polynomial representation of the line of variations

Assessing the collision probability of a Near Earth Asteroid (NEA) with the Earth is a relevant concern of the scientific community and it involves the problem, well-known within astrodynamics, of nonlinear uncertainties propagation. The standard NEA impact monitoring methodology relies on the concept of the Line of Variations (LOV), according to which the uncertainty region of newly discovered objects can be approximated to a 1D curve. This method offers a remarkable solution to two problems shown in this frame by classical techniques: the insufficient accuracy of linear approaches and the computational burden of nonlinear Monte Carlo simulations. This work investigates the introduction of differential algebraic approaches in the standard LOV method. By relying on the implementation of an algebra of Taylor polynomials, Differential Algebra (DA) enables the computation of arbitrary-order derivatives of any function in a computationally efficient way. When applied to dynamics propagation, DA provides the Taylor expansion of the ODE flow, which can be profitably used for uncertainty propagation. In highly nonlinear dynamics and for large uncertainty sets, DA is endowed with an Automatic Domain Splitting (ADS) procedure, adopted to split the initial set in subdomains that can be accurately propagated with the resulting polynomials. In the DA framework, the LOV is not sampled as in its standard implementation, but it is rather described with a high-order Taylor polynomial. The LOV is then propagated forward in time by propagating its polynomial representation in the DA framework. Whenever the polynomial truncation error reaches a predefined threshold, the LOV is automatically split using ADS. The resulting procedure is expected to guarantee an efficient and automatic splitting of the LOV by increasing the number of domains in areas that experience higher nonlinearities. At the collision epoch, the LOV projection on a properly defined Target Plane is composed of small fragments, some of which impacting the Earth. As a Gaussian probability density function (pdf) can be associated to the subdomains, it comes straightforward to exploit the polynomials and compute the impact probability by integrating the pdf over the portion of LOV that crosses the Earth. The performance of the resulting method is assessed on test cases taken from standard internet platforms providing NEAs data sets. A broad variety of different conditions is considered, including direct encounters, collisions following deep planetary approaches and resonant returns, and analysing all the possible initial confidence region configurations.

Il calcolo della probabilità d’impatto di un Near Earth Asteroid (NEA) con la Terra è un problema di grande rilevanza all’interno della comunità scientifica e coinvolge il problema, ben noto nel campo dell’astrodinamica, della propagazione non lineare di incertezze. La tecnica stantard per il monitoraggio dei NEA è basata sul metodo della Line of Variations (LOV), secondo il quale la regione di incertezza di asteroidi recentemente scoperti può essere approssimata con una curva monodimensionale. Questa tecnica offre una valida soluzione ai problemi presentati dalle tecniche classiche in questo campo: l’insufficiente accuratezza di metodi linearizzati e l’alto costo computazionale di analisi Monte Carlo non lineari. Questa tesi studia i possibili vantaggi offerti dall’introduzione dell’algebra differenziale (DA) nella tecnica LOV standard. Basandosi su un algebra di polinomi di Taylor, la DA consente di calcolare le derivate di qualsiasi funzione fino ad un ordine arbitrario in modo efficiente dal punto di vista computazionale. Se applicata alla propagazione di sistemi dinamici, offre la possibilità di calcolare l’espansione di Taylor del flusso di un sistema di ODE che può essere sfruttata per la propagazione di incertezze. In sistemi non lineari e per ampie regioni d’incertezza, la DA viene affiancata da un algoritmo di Automatic Domain Splitting (ADS), utilizzato per suddividere il dominio iniziale in sottodomini che possono essese accuratamente propagati con i rispettivi polinomi. In questa implementazione, la LOV non viene campionata come nel metodo standard ma viene piuttosto rappresentata come un singolo polinomio di alto ordine. La LOV viene poi propagata nel tempo propagando la sua rappresentazione polinomiale. Quando l’errore di troncamento del polinomio supera una certa soglia, la LOV viene automaticamente divisa dall’agoritmo di ADS. Questa procedura garantisce una divisione efficiente della curva, aumentando in modo automatico il numero di sottodomini nelle zone di maggiori non linearità. All’epoca dell’impatto, la proiezione della LOV su un piano appositamente definito è composta da piccoli frammenti, alcuni dei quali impatteranno con la Terra. Associando una distribuzione Gaussiana di probabilità ai domini generati, il calcolo di probabilità può essere fatto in modo immediato tramite integrazione della distribuzione lungo le porzioni di LOV che attraversano la Terra. Le potenzialità di questo metodo sono studiate su casi test reali presi da piattaforme internet che offrono dati sui NEA. Un’ampia varietà di condizioni differenti viene considerata, includendo impatti diretti, collisioni a seguito di un precedente incontro ravvicinato e ritorni risonanti, ed analizzando tutte le possibili configurazioni della regione di confidenza iniziale.