Flow and transport processes in multiscale randomly heterogeneous porous media

Characterization of porous media properties is critical to groundwater, petroleum engineering and geosciences, due to the ubiquitous heterogeneity of natural hydrogeological systems/reservoirs. Subsurface parameters, such as the hydraulic conductivity, can span some orders of magnitudes even in seemingly homogeneous aquifers. To deal with such a heterogeneity flow and transport parameters are typically modeled as random functions of space and/or time. Stochastic approaches provide a convenient and rigorous theoretical framework within which uncertainty in the spatial distribution of subsurface properties can be tackled together with the way this propagates to system state variables (e.g., pressure heads, fluxes, solute concentrations). In practice, many hydrogeological variables show typical non- Gaussian behaviors presenting nearly Gaussian frequency distributions while, those describing their increments, exhibit peaks that grow sharper and tails that become heavier as separation distance decreases. The Generalized sub-Gaussian model proposed by Riva et al. [2015a] [32] is capable to capture these behaviors in a consistent manner subordinating the random process of interest (Y) to a Gaussian random field (G) by employing a log-normal subordinator (U). This study aims to develop and validate new leading-order analytical expressions for flow and transport by considering a mean uniform steady state flow in an unbounded two-dimensional domain, taking the Gaussian random field (G) to be a hierarchy characterized by a truncated power variogram (TPV). We start by deriving leading-order analytical expressions for statistical moments of flow and transport variables for a truncated sub-Gaussian weighted superposition of exponential modes and demonstrating that the corresponding analytical solutions developed by Di Federico and Neuman [1998 a,b] [8,9] for a truncated Gaussian hierarchy of exponential modes are included in ours. The subsequent part of the work has then been devoted to the evaluation and comparison between the analytical expressions previously derived and our sub-Gaussian counterparts. The analysis has been performed as a function of the parameters of the sub-Gaussian model. Finally, the derived analytical expressions have been compared, in six different parameter configurations and for a mildly and moderately heterogeneous Y field, against the results of numerical Monte Carlo simulations. The unconditional conductivity fields have been generated using the generator of (conditional) scalable sub-gaussian random fields of Panzeri et al. [2016] [28].

La caratterizzazione delle proprietà dei mezzi porosi è di fondamentale importanza in settori come l’ingegneria petrolifera e le geo-scienze vista la diffusa eterogeneità dei sistemi idrogeologici. I parametri del sottosuolo, come per esempio la conduttività idraulica, possono variare di diversi ordini di grandezza anche in falde acquifere che sembrano omogenee. Per ovviare al problema dell’eterogeneità, i parametri di flusso e di trasporto sono tipicamente modellati come funzioni casuali dello spazio e del tempo. Gli approcci stocastici forniscono un rigoroso framework teorico all’ interno del quale l’incertezza che caratterizza le proprietà del sottosuolo può essere analizzata insieme alla maniera con cui essa si propaga alle variabili di stato del sistema (e.g. flussi, pressure heads, concentrazioni di soluto). In pratica, la maggior parte delle variabili idrogeologiche mostra un tipico comportamento non Gaussiano presentando distribuzioni di frequenza Gaussiane o simil-Gaussiane, mentre quelle dei loro incrementi esibiscono picchi più pronunciati e code più pesanti al decrescere del lag. Il Generalized sub-Gaussian model proposto da Riva et al. [2015a] [32] riesce a catturare questi comportamenti in maniera consistente subordinando la funzione casuale di interesse (Y), per mezzo di un subordinatore log-normale (U), ad un campo casuale Gaussiano (G). Questo studio mira a sviluppare e validare le principali espressioni analitiche per caratterizzare i fenomeni di flusso e trasporto in un flusso stazionario ed uniforme che si sviluppa in un dominio bi-dimensionale infinito. Ciò viene fatto assumendo che il campo gaussiano random (G) sia una gerarchia caratterizzata da un truncated power variogram. In primo luogo vengono derivate le principali espressioni analitiche dei momenti statistici di flusso e trasporto per una sovrapposizione troncata sub-Gaussiana di modi esponenziali e, successivamente, viene dimostrato che le soluzioni analitiche mostrate da Di Federico e Neuman [1998 a,b] [8,9] per una gerarchia Gaussiana troncata sono incluse in quelle presentate. Successivamente, le espressioni analitiche ricavate vengono comparate con le loro controparti sub-Gaussiane al variare dei parametri che caratterizzano il modello sub Gaussiano. In ultima analisi, le espressioni analitiche derivate sono state comparate con i risultati di simulazioni numeriche Monte Carlo per sei diverse configurazioni parametriche considerando il campo random Y prima leggermente e, poi moderatamente eterogeneo. I campi random non condizionati sono stati generati usando il generatore di (conditional) scalable sub-Gaussian random fields introdotto da Panzeri et al. [2016].