Locally resonant materials : wave propagation analyses and application to impact absorbers

Locally resonant metamaterials (LRMs) are characterized by bandgaps (BGs) at wavelengths that are much larger than the lattice size, enabling low-frequency vibrations attenuation and making them feasible for applications at small scale. Typically, bandgap analyses and predictions rely on the assumption of travelling waves in an infinite medium and, thus, a key point for their numerical computation is the reduction of the problem to a finite case, by the implementation of the Bloch-Floquet’s periodic boundary conditions. Within this framework, the thesis aims to tackle the problem of wave propagation in crystals characterized by three-components locally resonant sub-structures, presenting both square and hexagonal cells. Considering LRMs with a two dimensional (2D) periodicity, the comparison between the BGs obtained for crystals with an hypothetical infinite length and those obtained for the same crystals, but with fixed finite lengths, reveals that the full BG obtained for the infinite case well represents the BGs for the corresponding finite cases when the length is at least two times the edge of the unit cell, although at very large lengths some propagating bending modes enter inside the BG. Crystals with a three dimensional (3D) periodicity are here treated as well by analysing their filtering behaviour, with a particular focus on the prismatic-hexagonal lattices, for which four Matlab codes have been generated, making it possible to use Bloch-Floquet's periodic boundary conditions in Abaqus. Finally, the possibility of using a LRM with a 2D periodicity as an impact absorber for small lightweight cars is explored and a new impact absorber is studied.

I metamateriali localmente risonanti (Locally Resonant Metamaterials LRMs) fanno parte dei cosiddetti cristalli fononici e cioè di quella classe di materiali che presentano strutture periodiche con proprietà dinamiche peculiari che ne permettono l'utilizzo come filtri di onde elastiche. In particolare, il loro comportamento dinamico è caratterizzato dalla presenza di intervalli di frequenza, chiamati "bandgaps (BGs)", all’interno dei quali la propagazione di onde elastiche non è consentita senza attenuazione. Dal punto di vista applicativo, ciò che rende questa tipologia di cristalli fononici particolarmente interessante è la loro capacità di attenuazione di onde che presentano lunghezze d’onda molto maggiori della costante che definisce la loro periodicità spaziale, consentendo in questo modo l’attenuazione di vibrazioni a basse frequenze e quindi rendendo questi materiali utilizzabili in problemi su piccola scala. L’aspetto fondamentale per sfruttare le capacità di attenuazione proprie dei LRMs è quindi il calcolo dei BGs appena definiti; tipicamente, il problema dinamico viene affrontato considerando un cristallo infinito e cioè caratterizzato da un’infinita struttura periodica nello spazio. Lo studio della propagazione delle onde elastiche può essere ricondotto ad una sola cella elementare del materiale utilizzando le condizioni al contorno di Bloch-Floquet che consentono di legare gli spostamenti di un lato (o faccia) della cella elementare a quelli del lato (o faccia) opposto. Tali condizioni al contorno dipendono dal vettore d'onda dell'onda considerata. Inizialmente in questa tesi si è quindi svolto un lavoro di approfondimento sugli aspetti che principalmente caratterizzano i reticoli cristallini in campo cristallografico; focalizzandosi poi sui cristalli fononici, sono stati precisati i due meccanismi che contraddistinguono il comportamento a filtro di onde, indicando non solo quello localmente risonante proprio di LRMs, ma anche il cosiddetto meccanismo di riflessione di Bragg, che può manifestarsi nei LRMs a frequenze maggiori rispetto al precedente. Questa parte introduttiva si conclude con uno studio dei concetti chiave alla base del problema della propagazione di onde elastiche in un solido caratterizzato da una struttura periodica nello spazio, con l’ausilio di un esempio di calcolo analitico del BG per un sistema discreto unidimensionale localmente risonante. La tesi prosegue mostrando le analisi numeriche per il calcolo e l’analisi delle proprietà attenuative di diverse geometrie di cristallo fononico. A tal proposito si sono realizzati dei modelli ad elementi finiti in Abaqus, implementando opportuni codici Matlab in grado di imporre le condizioni di periodicità di Bloch-Floquet nell’analisi in frequenza in Abaqus. In particolare, partendo da codici già esistenti applicabili a reticoli quadrati ed esagonali in due dimensioni ed a reticoli cubici in tre dimensioni, sono stati generati nuovi codici in grado di trattare anche geometrie a base esagonale in tre dimensioni. I LRMs analizzati sono caratterizzati da una struttura cellulare formata da 3 componenti (una cornice esterna rigida, una massa risonante interna molto pesante e una schiuma polimerica di riempimento molto cedevole), in modo tale da garantire un comportamento a risonanza locale nella cella. Più in dettaglio, la tesi si focalizza inizialmente sui cristalli che possiedono una periodicità 2D, tramite un'analisi comparativa tra i BGs di LRMs aventi la dimensione fuori dal piano di periodicità infinita e quelli ottenuti dai casi corrispondenti, ma con dimensioni fuori piano finite. Ciò ha rivelato il fatto che il BG ottenuto per i casi infiniti rappresenta in modo corretto i BGs dei corrispondenti casi finiti per dimensioni fuori piano maggiori del doppio di quella che definisce la periodicità del cristallo. Nei casi con dimensioni fuori piano molto elevate, si assiste tuttavia alla comparsa di modi aggiuntivi di flessione della massa risonante caratterizzati da frequenze che cadono internamente al BG. Generalizzando l’analisi ai casi con periodicità 3D, si sono studiate diverse celle elementari in cristalli a base quadrata ed esagonale, analizzando il ruolo di differenti configurazioni del materiale metallico (a telaio, con pareti e con cella chiusa). La parte finale della tesi introduce la possibilità di utilizzo dei LRMs come assorbitori di impatti in automobili di piccole dimensioni; in particolare si è proposto un nuovo sistema composto da una struttura tubulare a parete sottile in acciaio, in serie con un cristallo fononico formato da celle localmente risonanti del tipo specificato in precedenza. L’analisi è stata svolta modellando in Abaqus un cosiddetto "crash test” del nuovo sistema proposto come nuova soluzione e confrontando i risultati ottenuti dalla stessa analisi effettuata su un sistema più tradizionale, caratterizzato esclusivamente da una struttura tubulare a parete sottile in acciaio. I risultati hanno evidenziato un comportamento più efficiente nel nuovo assorbitore, confermando l’efficacia dell’utilizzo dei LRMs in problemi di assorbimento di energia e fornendo un primo passo per possibili successivi sviluppi di ricerca in questa direzione.