Reduced order coupling in domain decomposition methods for parametrized PDEs

This master project deals with efficient schemes for the numerical approximation of Partial Differential Equations pursuing a Domain Decomposition strategy. More specifically, we develop a non-conforming domain decomposition method based on transmission conditions imposed in weak form. We enforce the continuity of the global solution across the interfaces of adjacent subdomains by a discrete number of Lagrange multipliers, approximating the interface dual space by Fourier basis functions. This work is made by two parts. In the first part, we apply the domain decomposition method to elliptic problems in three-dimensional geometries, discretizing the single subdomains with \textit{a priori} non-conforming Finite Elements spaces. We observe that the theoretical convergence orders are retrieved when the space of Lagrange multipliers is rich enough. In the second part, we extend the domain decomposition approach to parametrized partial differential equations and construct a reduced-order model of the primal high-fidelity space. Due to the saddle point structure of the resulting problem, it is necessary to enrich the reduced basis in order to guarantee the stability of the reduced formulation. Both parts include numerical tests in order to validate the method used.

Questa tesi di laurea è dedicata a metodi efficienti per l'approssimazione numerica di equazioni differenziali alle derivate parziali nel contesto della decomposizione di domini. In particolare, proponiamo un metodo non conforme basato sull'imposizione di opportune condizioni di trasmissione in forma debole. La continuità della soluzione globale è soddisfatta attraverso un numero finito di moltiplicatori di Lagrange, definiti sulle interfacce tra sotto-domini adiacenti ed espressi rispetto ad una base di modi di Fourier. Questo progetto consta di due parti. Nella prima parte, il metodo di decomposizione di domini è applicato a problemi ellittici in geometrie tridimensionali, partizionate in un numero arbitrario di sotto-domini discretizzati mediante spazi ad Elementi Finiti a priori non conformi. Nel caso in cui lo spazio di moltiplicatori di Lagrange sia sufficientemente ricco, vengono ottenuti gli ordini di convergenza teorici previsti per il metodo agli Elementi Finiti. Nella seconda parte, ci proponiamo di estendere tale metodologia alle equazioni differenziali parametriche e di combinarla con algoritmi di riduzione di modello. A causa della natura punto-sella del problema risultante, si rivela necessario arricchire la base ridotta mediante al fine di garantirne la stabilità. Le due parti sono corredate da simulazioni numeriche allo scopo di convalidare il metodo utilizzato.