Preconditioning techniques for fractured porous media discretized by mimetic finite differences

In the mathematical modelling for flows in porous media the treatment of fractures is of great interest for a wide range of engineering applications. For the fractures we consider a reduced problem in which they are modelled as (d-1)-dimensional interfaces. The governing equations for the porous matrix are discretized by mimetic finite differences, while in fractures a two-point flux approximation version of the finite volume scheme is considered. The resulting linear system can be formulated as a generalized saddle point problem, leading the way to several preconditioning techniques. In this thesis we have studied different preconditioners based only on the block structure of the matrix of the system, in order to accelerate Krylov-subspace methods. The problem of preconditioning and the selected techniques are described theoretically, and several numerical experiments are presented to study the behaviour of the preconditioners with respect to the mesh size and the model parameters. Moreover the spectral properties of the system have been analysed, in particular a theoretical estimate for the condition number of the matrix of the system has been proved. From the numerical tests we can conclude the efficiency and robustness, with respect to both the mesh size and the model parameters, of two of the selected preconditioners, and conjecture the suboptimality of the theoretical estimate of the condition number. Also a C++ software has been developed, focusing on the object-oriented architecture of the code for the mimetic scheme and the preconditioners.

Nella modellazione matematica per flussi in mezzi porosi il trattamento delle fratture è di grande interesse per una vasta gamma di applicazioni in ambito ingegneristico. Per le fratture si considera un problema ridotto in cui sono modellate come interfacce (d-1)-dimensionali. Le equazioni che governano il flusso nella matrice porosa vengono discretizzate con le differenze finite mimetiche, mentre nelle fratture si considera una versione a due punti dello schema volumi finiti. Il sistema lineare risultante dal modello discreto può essere formulato come un problema punto sella generalizzato e ciò apre la strada a diverse tecniche di precondizionamento. In questa tesi abbiamo studiato alcuni precondizionatori basati solo sulla struttura a blocchi della matrice del sistema, al fine di accelerare metodi basati su iterazioni in spazi di Krylov. Il problema del precondizionamento e le diverse tecniche adottate vengono descritte a livello teorico, e molti esperimenti numerici vengono presentati per studiare il comportamento dei precondizionatori rispetto alla griglia e ai parametri di modello. Inoltre sono state studiate le proprietà spettrali del sistema, in particolare si presenta e si dimostra una stima teorica del numero di condizionamento della matrice del sistema. Nei test numerici due dei precondizionatori studiati si sono rivelati efficienti e robusti sia rispetto alla griglia che ai parametri di modello, mentre, riguardo al numero di condizionamento, dai test possiamo congetturare che la stima teorica sia subottimale. In aggiunta è stato sviluppato un codice in C++, concentrandosi sulla struttura orientata a oggetti per l'implementazione dello schema mimetico e dei precondizionatori.