Quantum walk on a vibrating lattice and its numerical study with a GPU-accelerated algorithm

Transport of excitation, information, charge, etc. in the quantum world is often described through the quantum walk model, the quantum version of random walk. In this work we analyze the quantum walker's behaviour in a one-dimensional finite and dynamic lattice, which is within a heat bath at constant temperature. The lattice vibrates in normal modes (phonons), whose occupation is determined by the Bose-Einstein statistics. With a semiclassical approach, we fully characterize the lattice's dynamic starting from a sample of the energy and of the phase for each mode. We insert such dynamic in the quantum walk Hamiltonian by defining generic functions (couplings) of the distances between adjacent lattice sites. Therefore, we obtain an ensemble of quantum walk realizations. We want to know the average transport behaviour of these realizations. Moreover, we describe the case in which the Hamiltonian also has static diagonal disorder. In this variant we wish to know if the lattice dynamic can influence the Anderson localization. An analytical study of this model is unfeasible. Therefore, we devised an algorithm that numerically simulates the different quantum walk (on vibrating lattice) realizations, executes measures on them and averages the results. Each realization is characterized by a sample of the random numbers required. So, since the algorithm is well suited for the SIMD (Single Instruction Multiple Data) paradigm, we implement it on GPU with the CUDA platform. We show which optimizations are necessary to maximize the throughput and we compare the performances with the same code executed on CPU. At last, we present the simulation results, showing that the transport is always degraded by the lattice dynamics, but the localization length, in the static disorder case, can increase or decrease depending on the choice of the parameters.

Il trasporto di un'eccitazione, di informazione, di carica, ecc. nel mondo quantistico è spesso descritto attraverso il modello di quantum walk, controparte quantistica del random walk. In questo lavoro analizziamo il comportamento del walker quantistico in un reticolo monodimensionale finito e dinamico posto ad una temperatura costante. Il reticolo vibra nei modi normali (fononi), la cui occupazione è determinata dalla statistica di Bose-Einstein. Con un approccio semiclassico, caratterizziamo completamente la dinamica del reticolo partendo da un campione dell'energia e della fase di ciascun modo normale. Inseriamo tale dinamica nell'Hamiltoniana di quantum walk definendo delle generiche funzioni (couplings) delle distanze tra siti adiacenti del reticolo. Otteniamo, quindi, un insieme di realizzazioni di quantum walk di cui vogliamo conoscere il comportamento medio per quanto riguarda il trasporto. Descriviamo, inoltre, il caso in cui l'Hamiltoniana ha anche disordine statico diagonale. In questa variante vorremmo sapere se la dinamica del reticolo possa influire sulla localizzazione di Anderson. È impensabile studiare questo modello analiticamente. Abbiamo perciò elaborato un algoritmo che simula numericamente diverse realizzazioni di quantum walk su reticolo ed esegue delle misurazioni mediandone i risultati. Ciascuna realizzazione è caratterizzata da un campione delle variabili aleatorie in gioco. Implementiamo, quindi, l'algoritmo su architettura GPU attraverso la piattaforma CUDA, in quanto esso si presta molto bene a una realizzazione con paradigma SIMD (Single Instruction Multiple Data). Mostriamo quali ottimizzazioni sono necessarie per massimizzare il throughput e confrontiamo le prestazioni con lo stesso codice eseguito su CPU. Infine presentiamo i risultati delle simulazioni, mostrando che il trasporto viene sempre degradato dalla dinamica del reticolo, ma la lunghezza di localizzazione, nel caso con disordine statico, può aumentare o diminuire a seconda della scelta dei parametri.