Un approccio analitico al model risk

Any financial problem is represented through mathematical models based on imperfect assumptions, creating model risk. In this thesis is studied a method to calculate the effect of model error and to obtain robust measurements of the quantities of interest. The approach consists in identifying the worst possible deviation from a nominal model, through a change of measure that leads to an alternative model, and in identifying the elements responsible for the change, which are therefore the most vulnerable for the model itself. Using the relative entropy (or Kullback-Leibler distance) to limit the distance from the nominal model, it is obtained an explicit expression of the change of measure in the worst case possible. It is verified that the model error, represented by the measurement change, in some cases can be explained as a simple variation of parameters, while in others it involves a more complex change that can’t be explained as an estimating error of parameters. To build the bounds of the measure of risk, at different level of relative entropy, some analytical methods are used and explained in detail. Moreover, some numerical methods are introduced and are used where it is not possible to find analytical expressions. Two examples are studied and analyzed in detail: portfolio optimization and portfolio credit risk.

Un qualunque problema finanziario viene rappresentato attraverso modelli matematici basati su assunzioni non perfette che danno luogo al rischio di modello. In questa tesi viene studiato un metodo per calcolare l'effetto dell'errore di modello e per ottenere misure robuste delle quantità di interesse. L'approccio consiste nell'identificare la peggior deviazione possibile da un modello nominale, tramite un cambio di misura che dà luogo ad un modello alternativo, e nell'individuare gli elementi responsabili del cambiamento, che risultano dunque i più vulnerabili per il modello stesso. Usando la relative entropy (o distanza di Kullback-Leibler) per limitare l'allontanamento dal modello di base, si ottiene un'espressione esplicita del cambio di misura nel caso peggiore possibile. Si verifica che l'errore di modello, rappresentato dal cambio di misura, in alcuni casi può essere assorbito da una semplice variazione di parametri, mentre in altri comporta un cambiamento più complesso non spiegabile come errore di stima dei parametri. Vengono utilizzati metodi analitici per costruire la frontiera robusta della misura di rischio, al variare della distanza dal modello base, dunque della relative entropy. Si introducono inoltre alcuni metodi numerici utilizzati laddove non fosse possibile ricorrere ad espressioni analitiche. Vengono studiati e approfonditi in particolar modo due esempi: ottimizzazione di portafoglio e rischio di credito di un portafoglio.