Nonlinear dimensionality reduction of parametrized PDEs

Several problems of engineering and industrial interest are modelled by means of Partial Differential Equations dependent on parameters. If the numerical simulation is required in a very short calculation time, or for several parameter instances, the computational cost of a high-fidelity technique such as the finite element method is extreme. Reduced order models, such as the reduced basis (RB) method are computational reduction techniques that enable the solution of such problems to be obtained quickly and accurately by solving a problem whose size is much lower than a Galerkin finite element method. The strategy is to solve the high-fidelity problem only for few parameter instances during a computationally expensive Offline phase, in order to build a reduced basis to represent all the solutions, to be determined Online for new parameters instances. A classic method for the construction of this basis is the Proper Orthogonal Decomposition (POD) carried out on a set of high-fidelity solutions. However, in some specific cases it results to be not accurate to represent the set of PDE solutions with a single low-dimensional global subspace. The aim of this thesis is the innovative application of non-linear dimensionality reduction techniques to problems that are poorly reducible through the use of POD. In particular it is considered, for the first time in the RB methods, the use of autoencoders, a type of artificial neural networks, able to improve the accuracy of the classical RB method in some critical cases, given the same size of the reduced basis. A strategy is also developed to exploit non-linear dimensionality reduction techniques for the construction of local bases. Thanks to the use of techniques applied in the field of statistical learning, more and more pervasive in various fields, it is therefore possible to extend the RB method in order to deal with classes of problems for which the classical version of this method is not very efficient.

Svariati problemi di interesse ingegneristico e industriale sono modellati mediante Equazioni a Derivate Parziali dipendenti da parametri. Qualora la simulazione numerica sia richiesta in un tempo di calcolo molto rapido, oppure per numerose istanze dei parametri, il costo computazionale di una tecnica high-fidelity come il metodo degli elementi finiti risulta eccessivo. I modelli di ordine ridotto, come il metodo a basi ridotte (reduced basis, RB) sono tecniche di riduzione computazionale che consentono di ottenere in modo rapido e accurato la soluzione di tali problemi mediante la risoluzione di un problema di dimensione notevolmente inferiore rispetto ad un metodo di Galerkin-elementi finiti. La strategia è risolvere il problema high-fidelity solo per poche istanze dei parametri durante una fase Offline computazionalmente onerosa, allo scopo di costruire una base ridotta per poter rappresentare tutte le soluzioni, da determinare Online, al variare dei parametri. Un classico metodo per la costruzione di tale base è la Proper Orthogonal Decomposition (POD) effettuata su un insieme di soluzioni high-fidelity. Tuttavia, in alcuni casi specifici non risulta accurato rappresentare l’insieme delle soluzioni della PDE con un unico sottospazio globale a bassa dimensione. Obiettivo della tesi è l’applicazione innovativa di tecniche non lineari di riduzione dimensionale a problemi difficilmente riducibili mediante l’uso della POD. In particolare viene considerato, per la prima volta nell’ambito dei metodi RB, l’utilizzo degli autoencoder, un tipo di reti neurali artificiali, in grado di migliorare l’accuratezza del classico metodo RB in alcuni casi critici a parità di dimensione della base ridotta. Viene inoltre sviluppata una strategia per sfruttare tecniche non lineari di riduzione dimensionale per la costruzione di basi locali. Grazie all’utilizzo di tecniche applicate nell’ambito dello statistical learning, sempre più pervasive in svariati ambiti, risulta dunque possibile estendere il metodo RB allo scopo di trattare classi di problemi per i quali la versione classica di tale metodo risulta poco efficiente.