Controlling oscillations in high-order schemes using neural networks

High-order numerical solvers for conservation laws suffer from Gibbs phenomenon close to discontinuities, leading to spurious oscillations and a detrimental effect on the solution accuracy. A possible strategy to reduce their amplitude aims to add a suitable amount of artificial viscosity. Several models are available in the literature, which rely on the identification of a shock sensor, adding dissipation when the solution regularity is lost. The dependence on problem-specific parameters limits their performances. To solve this issue, in this thesis we propose a new technique based on artificial neural networks. In particular, we focus on the construction of multilayer perceptrons. Emphasis is given to the training phase, which is carried out using a robust dataset created using the classical models with optimal parameters. The online evaluation is then integrated in the numerical solver of the partial differential equation. Even though most of the effort is put in one-dimensional problems, an extension to a two-dimensional scenario is provided. Several numerical results are presented to demonstrate the capabilities of the network-based technique. Initially, we focus on one-dimensional scalar problems, where Burgers equation represents our first benchmark test. Then, we move to less simple cases, characterized by non-convex flux functions or involving multiple equations (compressible Euler equations). The same strategy is followed for multi-dimensional problems. In most of the cases, the proposed model is able to guarantee high accuracy in presence of smooth solutions and to capture discontinuities (shock and contact waves). In general, the results are comparable to (or better than) the classical models with properly tuned parameters. A final performance analysis is carried out.

Schemi numerici di alto ordine per leggi di conservazioni sono soggetti al fenomeno di Gibbs in prossimità di punti di discontinuità, causando oscillazioni spurie e intaccando negativamente l’accuratezza della soluzione. Una possibile strategia per smorzarne l’ampiezza consiste nell’aggiungere un adeguato valore di viscosità artificiale. Diversi modelli sono presenti in letteratura, molti dei quali sono basati sull’identificazione di un sensore di discontinuità (discontinuity sensor), aggiungendo dissipazione dove la soluzione perde di regolarità. La dipendenza da parametri empirici limita le loro performances. Al fine di risolvere questo problema, in questa tesi viene introdotta una nuova tecnica basata su reti neurali artificiali (artificial neural networks). Più precisamente, viene presentata la costruzione di percettroni multistrato (multilayer perceptrons). Particolare attenzione è data alla fase di apprendimento (training), che viene effettuata usando un opportuno set di dati creato per mezzo dei modelli standard con parametri ottimali. L’applicazione della rete neurale è integrata all’interno del solutore numerico dell’equazione differenziale. Sebbene maggior enfasi è posta su problemi monodimensionali, vengono fornite opportune estensioni al caso bidimensionale. Sono presentati diversi risultati numerici, con lo scopo di dimostrare le potenzialità della tecnica proposta. Inizialmente, vengono considerati problemi scalari monodimensionali, dove l’equazione di Burgers rappresenta il primo caso test. Successivamente, si analizzano casi più complessi, caratterizzati da flussi non convessi o dalla presenza di più equazioni (equazioni di Eulero). La medesima strategia è perseguita per problemi multidimensionali. Nella maggior parte dei casi, il modello proposto garantisce elevata accuratezza in presenza di soluzioni regolari, così come la capacità di catturare diverse discontinuità (onde di shock e di contatto). In generale, i risultati sono comparabili con (o meglio de) i modelli classici con parametri opportunamente tarati. Infine, viene effettuata una analisi delle performances computazionali delle tecniche considerate.