Simplified ADER approach based on a new time-reconstruction GRP solver

At the present time there is sufficient evidence that for a wide number of engineering and scientific problems, numerical methods of very high order of accuracy are somewhat essential. Among these, the family of conservative and fully-discrete ADER schemes certainly stands out as one of the most attractive and successful, mainly due to the absence of theoretical accuracy barriers. In the last decade or so we have seen explosive developments of the ADER approach as well as very ambitious applications. However, the inherent complexity of these methods has sometimes limited their great potential, making it desirable, from the practical point of view, to introduce some appropriate and suitable simplifications. This thesis in particular concerns the design of a novel class of simplified solvers for the generalized Riemann problem (GRP), which is a twofold generalization of the classical Riemann problem and the corner stone of ADER methods of unbounded accuracy in both space and time. Specifically, our endeavour is to avoid the cumbersome Cauchy-Kowalewskaya procedure, which represents a key mathematical tool in the solution process of the GRP solvers developed to date and whose application primarily embodies the inherent complexity of the ADER methodology. Such a demanding task is accomplished by exploiting the history of the solution to set up a reconstruction problem at the element interface. This approach is here referred to as "time-reconstruction" (TR). Possible and highly-recommended improvements of this strategy are explored and discussed, the need for which is mainly encouraged by robustness considerations. Subsequently, simplified ADER schemes based on this novel approach are constructed (ADER-TR) and in-depth analysed, with particular emphasis on stability properties, convergence rates and computational efficiency. Throughout the work numerical examples and comparisons with conventional ADER schemes are provided, mainly focusing on the one dimensional time-dependent Euler system of equations. Moreover, a systematic assessment of the constructed schemes is performed by carefully selecting a suite of test problems. We point out that the extension of the TR approach to hyperbolic systems with possibly stiff source terms in multiple space dimensions, on structured and unstructured meshes, will be instead the subject of future research. In this sense, we emphasise that our work may be regarded as a preliminary endeavour to set solid and valuable bases for the construction of simplified ADER methods.

È oramai risaputo che, per una vasta gamma di applicazioni ingegneristiche e di problemi scientifici, l'impiego di metodi numerici di alto ordine è indispensabile. Certamente spicca, fra questi, la famiglia dei metodi ADER, soprattutto a causa della mancanza di barriere teoriche all'accuratezza raggiungibile. Negli ultimi anni l'esplosivo sviluppo algoritmico di tali metodi ha consentito anche il loro utilizzo in applicazioni molto ambiziose. Tuttavia, l'intrinseca complessità dell'approccio ADER ne ha, in un certo qual modo, limitato il grande potenziale, rendendo perciò auspicabile, da un punto di vista pratico, l'introduzione di opportune semplificazioni. In questo contesto, il lavoro qui presentato si propone di ideare una nuova classe di solutori semplificati per il problema di Riemann generalizzato (GRP), che rappresenta una duplice generalizzazione del problema di Riemann classico e il fondamento per la costruzione di metodi ADER conservativi e completamente discreti. L'interesse è in particolar modo rivolto ad evitare la procedura di Cauchy-Kowalewskaya, che ha costituito fino ad ora uno strumento matematico chiave nel processo di soluzione per il GRP, ma la cui applicazione rappresenta anche la principale causa della complessità della metodologia ADER. Al fine di raggiungere tale risultato, si è proposto di impostare un problema di ricostruzione all'interfaccia dell'elemento computazionale, sfruttando in modo opportuno l'evoluzione temporale della soluzione numerica. Questo approccio semplificato è stato qui denominato “ricostruzione-temporale" (TR). Utili e opportuni miglioramenti di questa nuova strategia sono stati poi introdotti e studiati, essenzialmente allo scopo di incrementarne la robustezza. Successivamente, sulla base di questa nuova classe di solutori per il GRP, si sono costruiti metodi ADER semplificati (ADER-TR), analizzandone nel dettaglio sia le proprietà di stabilità e di convergenza sia l'efficienza computazionale. Inoltre, si sono riportati innumerevoli esempi numerici e comparazioni con schemi ADER tradizionali, concentrandosi principalmente sulle equazioni di Eulero della gasdinamica nel caso monodimensionale. Una validazione sistematica delle prestazioni di questi nuovi schemi numerici si è infine ottenuta selezionando con cura una serie di problemi test significativi. La naturale estensione dell'approccio TR a sistemi iperbolici in più dimensioni spaziali, con possibili termini di sorgente “stiff”, su mesh strutturate e non-strutturate, sarà invece l'argomento di future ricerche. In tal senso, è possibile affermare che lo scopo principale di questa tesi sia essenzialmente quello di porre delle buone e solide basi per la costruzione di una nuova categoria di metodi ADER semplificati.