Weakly nonlinear analysis of the Neimark-Sacker bifurcation in the Langford system

The purpose of this work is to build and validate a Mathematica program capable of performing the weakly nonlinear stability analysis of a limit cycle. The Langford system system admits a periodic solution, and, on this limit cycle solution, presents a Neimark–Sacker bifurcation for a specific value of the control parameter. This problem was choosen as a test case for one main reason: both the Langford system and its eigenproblem admit a colosed–form solution, this is expecially usefull since there is a lack of reference results in the literature for the weakly nonlinear analysis; the option of comparing the results with the exact solutions helped us in the validation. Weakly nonlinear analysis of limit cycles is yet to be explored for complex systems of PDEs. In the Navier–Stokes equations for example, the authors in [3] detected a Neimark–Sacker bifurcation, but the weakly nonlinear analysis has not been performed yet. This is due to both the complexity of the problem and the lack of reference results to compare with. The intent behind this work is to provide reference results that can be used to validate a program that is able to handle more complex systems of PDEs, such as the Navier–Stokes equations, on the test case of the Langford system.

Lo scopo di questo lavoro di tesi è quello di implementare e validare un programma scritto col software Mathematica capace di eseguire l’analisi di stabilità debolmente non lineare di un ciclo limite. Il sistema di Langford ammette una soluzione periodica, la quale, per un preciso valore del parametro di controllo, presenta una biforcazione di tipo Neimark-Sacker. Questo sistema è stato scelto come problema test per una ragione principale: sia il sistema di Langford, che il suo problema agli autovalori ammettono una soluzione in forma chiusa. Questa caratteristica risulta particolarmente utile data la mancanza di risultati di riferimento in letteratura per questo tipo di analisi; la possibilità di confrontare i risultati del programma con la soluzione esatta offre la certezza richiesta per la loro validazione. L’analisi di stabilità debolmente non lineare dei cicli limite non è ancora stata esplorata per sistemi complessi di PDE. Ad esempio, nel caso delle equazioni di Navier–Stokes, in [3] gli autori hanno trovato una biforcazione di tipo Neimark–Sacker, ma la sua analisi debolmente non lineare non è ancora stata effettuata. Questo è dovuto sia alla difficoltà che si presenta nell’effettuare questo tipo di analisi, sia alla mancanza di riferimenti con i quali validare i risultati. Lo scopo di questo lavoro di tesi è quello di fornire dei risultati di riferimento per il sistema di Langford che possano essere utilizzati per validare programmi in grado di gestire sistemi di equazioni più complessi.