Metodo generale per la valutazione di opzioni sulla volatilità in modelli a volatilità stocastica con salti

In this thesis we report the study and some results proposed in [9], where a new and efficient method is presented in order to price Swaps and Options related to discretely-sampled Realized Variance. Exploiting the duality theory of Riesz and the density projection method, we derive the coefficients of the orthogonally projected density, which are computed numerically by the fast Fourier transform (FFT), that, combined with a continuous-time Markov chain to approximate the underlying variance process, allow to price this type of derivatives. To descibe the underlying dynamics we utilize a wide range of models, including stochastic volatility models: Heston, Hull-White, Scott, Stein-Stein, 3/2, 4/2 and alpha-Hypergeometric augmented with three types of Jumps, and exponential Lèvy models: Merton, Kou, NIG, VG, CGMY, Mixed-Normal-Jump-Diffusion (MNJD). The method converges in all the cases analyzed, allowing to obtain accurate results with a computational cost very low, as con firmed by numerical results.

In questa Tesi riproporremo l'analisi e i risultati proposti in [9], in cui si sviluppa un nuovo ed efficiente metodo per prezzare Swaps e Opzioni legate alla Discrete Realized Variance. Utilizzando la teoria delle basi duali di Riesz e il Metodo di Proiezione, si derivano i coefficienti della proiezione ortogonale della densità, calcolati numericamente attraverso la Fast Fourier Transform (FFT), con la quale, combinata a una catena di Markov a tempo continuo (CMTC) per approssimare la dinamica della varianza del sottostante, è possibile valutare il payoff dei derivati. Per descrivere la dinamica del sottostante, si utilizzeranno una vasta gamma di modelli, tra cui i modelli a volatilità stocastica: Heston, Hull-White, Scott, Stein-Stein, 3/2, 4/2 e alpha-Hypergeometric a cui si aggiungono tre tipologie di Salti, e i modelli esponenziali di Lèvy: Merton, Kou, NIG, VG, CGMY, Mixed-Normal-Jump-Diffusion (MNJD). Il metodo di pricing converge in tutti i casi analizzati permettendo di ottenere risultati molto accurati con un costo computazionale molto ridotto, come confermato dai risultati numerici proposti.