A parametrization technique to improve the robustness of Newton's method, with application to Richards' equation

The simulation of the water flow in partially saturated porous media is significant in fields such as agriculture, hydrology, environment and waste management. The Richards' equation is often use to model the movement of water in an unsaturated porous medium under the action of the gravity and capillarity, neglecting the air pressure. This equation is a nonlinear, degenerate elliptic-parabolic partial differential equation. Consequently, the resolution of the problem via analytical techniques becomes difficult, as well as the numerical resolution via Newton's method. Over the years, several researchers have worked on this topic with the aim of increasing the robustness of the numerical resolution method. Generally, the solution is recovered using a switch of variable which consist in using as primary variable the saturation or the capillary pressure with respect to the physical conditions. More precisely, the problem is solved in saturation variable in the unsaturated region and in pressure variable elsewhere. In this work we investigate a method proposed in the literature to improve the performance of the switch of variable, which consists in the formulation of a parametrization allowing us to separate the dependence between the saturation and pressure variables, while keeping their derivatives bounded. We perform a numerical validation of this technique by presenting two test cases. Finally, we propose and validate with numerical experiments an alternative parametrization. The technique has been implemented in an original C++ prototype code. This prototype handles every step of the simulation like the management of the mesh, the set up of the physical laws, the numerical solution and, finally, the visualisation of the results.

La simulazione del flusso dell'acqua in mezzi porosi parzialmente saturi è significativa in campi come l'agricoltura, l'idrologia, ecologia e la gestione dei rifiuti. L'equazione di Richards descrive il movimento dell'acqua in mezzi porosi insaturi, nei quali la porosità viene posta uguale a uno, sotto l'azione della gravità e della capillarità, trascurando la pressione dell'aria. L'equazione è non lineare, parabolica-ellittica degenere. Di conseguenza la risoluzione del problema, utilizzando tecniche analitiche, diviene difficoltosa, così come la risoluzione numerica attraverso il metodo di Newton. Nel corso degli anni molti ricercatori hanno lavorato su questo argomento al fine di migliorare la robustezza del metodo numerico di risoluzione. In generale la soluzione del problema si ottiene facendo ricorso ad uno switch di variabile che consiste nell'utilizzare come variabile principale la saturazione o la pressione capillare a seconda delle condizioni fisiche. Più precisamente, il problema viene risolto in variabile saturazione nelle zone insature e in variabile pressione altrove. In questo lavoro prendiamo in considerazione un metodo proposto per migliorare le performance dello switch di variabile, che consiste in una parametrizzazione che consente di eliminare la dipendenza tra la saturazione e la pressione, mantenendo limitate le loro derivate. In seguito validiamo numericamente questa tecnica attraverso due casi test. Infine presentiamo una parametrizzazione alternativa con rispettivo test numerico. Infine sviluppiamo un prototipo C++ per eseguire le nostre simulazioni. Questo prototipo gestisce ogni passo della simulazione come la gestione della mesh, il solver numerico ed infine la visualizzazione della soluzione ottenuta.