Option pricing with the finite element method

This work proposes to solve multidimensional nancial problems using a numerical method widely known in Mechanical Engineering: the Finite Element Method. The idea of this method is to approximate the solution of a Partial Di erential Equations (PDE), or a Partial Integro-Di erential (PIDE) Equations, with a combination of simple functions. In other words, from a complex, in nite dimensional functional space, we want to project the solution of a given weak problem on a simpler functional space of nite dimension. This approximation is done thanks to the Galerkin method which focuses the problem on a reduced zone, divides this zone in non-overlapping subdomains, and approximates on each domain the solution with easy functions such as polynomials. This method is here applied to nancial multi-dimensional problems. Here we consider the pricing of complex derivatives such as basket options on two or three assets, under the Black-Scholes and the Merton model, and the pricing of simple products (plain vanillas) under complex models such as stochastic volatility models. This nancial problems involve in general two or three dimensional parabolic PDEs or PIDEs. We have to set their variational form, choose an appriopriate approximated space, derive the linear equations solved by the components of the approximated form. We perform this computations thanks to a special PDE solver which performs Finite Element methods, and we want to see if increasing the number dimension of the approximated subspace, by increasing the number of subdomains or the number of simple functions, we reach a solution and put a price on our derivatives.

Questo lavoro si propone di risolvere problemi nanziari multidimensionali utilizzando un metodo numerico ampiamente conosciuto in ingegneria meccanica: il metodo degli elementi niti. L'idea di questo metodo di approssimare la soluzione di equazioni di erenziali alle derivate parziali (PDE) o equazioni parziali integro-di erenziali (PIDE), con una combinazione di funzioni semplici. In altre parole, da uno spazio funzionale complesso e in nito, vogliamo proiettare la soluzione di un dato problema debole su uno spazio funzionale pi semplice di dimensione nita. Questa approssimazione viene e ettuata grazie al metodo Galerkin che focalizza il problema su una zona ridotta, divide questa zona in sottodomini non sovrapposti e approssima su ogni dominio la soluzione con semplici funzioni come i polinomi. Questo metodo qui applicato a problemi nanziari multidimensionali. Qui consideriamo il prezzo di derivati complessi come le opzioni di paniere su due o tre beni, sotto il modello Black-Scholes e Merton, e il prezzo di prodotti semplici (vanillas semplici) sotto modelli complessi come i modelli di volatilit stocastica. Questi problemi nanziari riguardano in generale PDE paraboliche bidimensionali o tridimensionali. Dobbiamo impostare la loro forma variazionale, scegliere uno spazio appropriatamente approssimate, derivare le equazioni lineari risolte dai componenti della forma approssimata. Eseguiamo questi calcoli grazie a uno speciale solutore PDE che esegue i metodi degli elementi niti e vogliamo vedere se aumentando la dimensione numerica del sottospazio approssimato, aumentando il numero di sottodomini o il numero di funzioni semplici, raggiungiamo una soluzione e mettiamo un prezzo sui nostri derivati