Mathematical modelling of soft and active matter

This thesis focuses on the mathematical modelling of soft and active solid matter using continuum mechanics. An elastic body is said to be soft if it can undergo large deformations; it is said to posses an active behaviour when it can rearrange its micro-structure in presence of external stimuli, not necessarily of mechanical nature. Examples of active processes are biological growth or the contraction of dielectric elastomers provoked by an electromagnetic field. The research activities undertaken concerned both analytical and numerical tasks to solve some physical problems in this field. In particular, we focused on: - the constitutive theory of soft materials with initial stresses, - the mathematical modelling of active phenomena in biological matter, - the formation of patterns in soft solids due to a mechanical instability. The thesis is organized as follows. In Chapter 1, we briefly expose some basic notions of non-linear elasticity. We review the fundamental literature on the mathematical modelling of biological growth and muscle contraction, and on an emerging field in mechanics, called morpho-elasticity. In Chapter 2, we investigate the mathematical description of elastic bodies possessing a non-vanishing distribution of initial stress, i.e. the Cauchy stress in the undeformed reference configuration. We provide new mathematical and physical interpretations of the required constitutive restrictions, proving the existence of energy minimizers in the framework of the theory of initially stressed materials. In Chapter 3, we propose new mathematical models of active processes in soft biological matter, particularly focusing on tumour growth and muscular contraction. We show that it is not possible to recover the experimental stress-stretch curve corresponding to a uniaxial deformation of a skeletal muscle using the active strain method, based on a multiplicative decomposition of the deformation gradient. Instead, we propose an alternative model based on a mixture approach, called “mixture active strain”. Moreover, we show that solid tumours behave as growing poroelastic materials, where the growth is modulated by a chemo-mechanical feedback. The results of our model are in very good agreement with both “in-vitro” and “ex-vivo” experimental data. In Chapter 4, we model morpho-elastic phenomena in both living and inert soft matter. First, we investigate the mechanics of tumour capillaries, showing that the incompatible axial growth of the straight vessel can trigger an elastic instability, generating a tortuous shape. Second, we study how residual stresses can induce mechanical instabilities in soft spheres, e.g. in growing tumour masses. Considering several spatial distributions of the residual stress field, we prove that different topological transitions occur in the sphere where the hoop residual stress reaches its maximum compressive value. Third, we show that gravity bulk force can cause an elastic instability in soft elastic bilayers. We show that the non-linear elastic effects saturate the dynamic instability of the bifurcated solutions that characterize fluid-like matter, displaying a rich morphological diagram where both digitations and stable wrinkling can emerge. Finally, the results of this thesis prove how the combination of nonlinearities and nonconvexity in elastic mixed boundary value problems may emerge as complex physical phenomena, whose understanding requires the development of novel mathematical tools (Chapter 5).

Questa tesi tratta della modellazione matematica dei materiali soffici e attivi utilizzando la meccanica dei continui. Un corpo elastico è detto soffice quando può essere sottoposto a grandi deformazioni; possiede un comportamento attivo quando può riorganizzare la sua microstruttura in presenza di stimoli esterni, non aventi necessariamente una natura meccanica. Esempi di processi attivi includono la crescita biologica e la contrazione degli elastomeri dielettrici in presenza di un campo elettromagnetico. Le attività di ricerca hanno richiesto l’impiego di metodi analitici e numerici per risolvere alcuni problemi fisici in questo ambito di ricerca. In particolare, sono state studiate - la teoria costitutiva dei materiali soffici in presenza di tensioni iniziali - la modellazione matematica di fenomeni attivi in materiali biologici - l’insorgenza di pattern in solidi soffici dovuta ad instabilità meccaniche La tesi è così strutturata: nel Capitolo 1 vengono esposte brevemente alcune nozioni base dell’elasticità non lineare. Viene analizzata la letteratura esistente sulla modellizzazione matematica della crescita biologica, sulla contrazione muscolare e su un campo di ricerca emergente in meccanica, chiamato morfo-elasticità. Nel Capitolo 2 viene studiata la descrizione matematica di corpi elastici aventi una distribuzione di tensioni iniziali non nulla, ovvero aventi un tensore di Cauchy nella configurazione di riferimento non deformata diverso dal tensore nullo. Viene proposta una nuova interpretazione matematica e fisica delle restrizioni costitutive necessarie, dimostrando l’esistenza di minimizzatori elastici nel contesto della teoria dei materiali con tensione iniziale. Nel Capitolo 3 vengono proposti nuovi modelli matematici di processi attivi nella materia soffice biologica. Vengono affrontati in particolare la crescita dei tumori e la contrazione muscolare. Si dimostra che non è possibile riprodurre le curve sperimentali di tensione-deformazione corrispondenti alla deformazione uniassiale del muscolo scheletrico utilizzando l’active strain. Tale approccio è basato su una decomposizione moltiplicativa del gradiente di deformazione. Viene proposto un metodo alternativo, chiamato mixture active strain, basato sulla teoria delle miscele. Successivamente si mostra che i tumori solidi si comportano come materiali poroelastici con una crescita regolata da una trasduzione chimico-meccanica. Le predizioni del nostro modello sono in buon accordo con i dati ottenuti da esperimenti “in vivo” ed “ex vivo”. Nel Capitolo 4 si propongono modelli di fenomeni morfo-elastici sia nella materia vivente che inerte. Viene innanzitutto analizzata la meccanica dei capillari tumorali. Si dimostra che la crescita assiale in un ambiente confinato può provocare un’instabilità meccanica, generando una struttura tortuosa. Successivamente si studiano le instabilità meccaniche in sfere incomprimibili, composte da un materiale soffice e sottoposte a tensioni residue; uno scenario simile a quello delle masse tumorali crescenti. Considerando diversi possibili campi di tensione residua, si dimostra che possono avvenire delle transizioni topologiche dove il campo di tensione circonferenziale raggiunge il suo valore massimo. Inoltre, si mostra che la forza di gravità può provocare un’instabilità elastica in una lastra composta da due strati di materia soffice. Si prova che gli effetti elastici non lineari saturano l’instabilità dinamica che caratterizza i mezzi fluidi, esibendo un diagramma morfologico ricco dove possono apparire sia delle ondulazioni stabili che delle formazioni a goccia. I risultati di questa tesi dimostrano che la combinazione di nonlinerarità e non convessità nel problema misto dell’elasticità possono dar luogo a fenomeni fisici complessi la cui comprensione richiede lo sviluppo di nuovi strumenti matematici (Capitolo 5).