This thesis presents my contribution to the recent evolution of modeling and implementation techniques of linear and nonlinear physical systems in the Wave Digital (WD) domain. The overarching goal of WD methods is to build digital implementations of analog systems, which are able to emulate the behavior of their analog counterpart in an efficient and accurate fashion. Though such methods usually focus on the WD modeling of analog audio circuits; the methodologies that we address in this thesis are general enough as to be applicable to whatever physical system that can be described by an equivalent electric circuit, which includes any system that can be thought of as a port-wise interconnection of lumped physical elements. Such systems, in fact, are fully described by a “dual” pair of Kirchhoff variables per port (e.g. a current-voltage pair, a force-velocity pair, etc.), and the circuit connecting such elements implements the topological relations that exist between them (e.g. Kirchhoff laws, laws of dynamics/fluid-dynamics, etc.). The possibility of describing systems through electrical equivalents has relevant implications not only in the field of numerical simulation of physical phenomena, but also in the field of digital signal processing, as it allows us to model different kinds of processing structures in a unified fashion and to easily manage the energetic properties of their input-output signals. However, digitally implementing nonlinear circuits in the Kirchhoff domain is not straightforward, because dual variables (currents and voltages) are related by implicit equations which make computability very hard, as instantaneous dependencies between input and output signals cannot be eliminated. Spice-like software, based on the Modified Nodal Analysis (MNA) framework, is not always suitable for realizing efficient and interactive digital applications, mainly because it requires the use of iterative methods for solving multi-dimensional systems of equations. WD Filters (WDFs) are a very attractive alternative. During the seventies, Alfred Fettweis introduced WDFs as a special category of digital filters based on a lumped discretization of reference analog circuits. A WDF is created by port-wise consideration of a reference circuit, i.e., decomposition into one-port and multi-port circuit elements, a linear transformation of Kirchhoff variables to wave signals (incident and reflected waves) with the introduction of a free parameter per port, called reference port resistance, and a discretization of reactive elements via the bilinear transform. Linear circuit elements, such as resistors, real sources, capacitors and inductors, can be described through wave mappings without instantaneous reflections, as they can be all “adapted" exploiting the mentioned free parameter; in such a way that local delay-free loops (implicit relations between port variables) are eliminated. Series and parallel topological connections between the elements are implemented using scattering topological junctions called “adaptors", which impose special adaptation conditions to eliminate global delay-free loops and ensure computability. It follows that WDFs, as opposed to approaches based on the MNA, allow us to model separately the topology and the elements of the reference circuit. Moreover, WDFs are characterized by stability, accuracy, pseudo-passivity, possibility of parameterization, modularity and low computational complexity, making many real-time interactive applications easy to be realized. Most classical WD structures can be implemented in an explicit fashion, using binary connection trees, whose leaves are linear one-ports, nodes are 3-port adaptors and the root may be a nonlinear element. However, WDFs are also characterized by important limitations. The first main weakness of state-of-the-art WDFs is that WD structures, characterized by explicit input-output relations, can contain only one non-linear element, as nonlinear elements cannot be adapted. In fact, the presence of multiple nonlinear elements might affect computability, which characterizes classical linear WDFs, as delay-free loops arise. As a second main limitation of traditional WDFs, up to three years ago, there were no systematic methods for modeling connection networks which embed non-reciprocal linear multi-ports, such as nullors or controlled sources. Finally, very few studies were presented on the use of discretization methods alternative to the bilinear transform and potentially varying step-size in WD structures. This thesis presents various techniques to overcome the aforementioned limitations. After a review of the state of the art on WD modeling of lumped systems up to 2015, this thesis begins with redefining wave signals, first by offering a unified definition that accommodates the existing ones (those based on one free parameter per port), then by introducing a new class of waves with two free parameters per port, which leads to WD structures that exhibit a doubled number of degrees of freedom, called “biparametric” WDFs. The second part discusses how to implement nonlinear one-port and multi-port elements in the WD domain; finding a compromise between accuracy, efficiency and robustness. In particular, it shows how scalar nonlinearities can be represented in canonical piecewise-linear form in the WD domain; it presents a technique based on the Lambert function to make a class of exponential nonlinearities, e.g., diodes or Bipolar Junction Transistors, explicit in the WD domain; and it provides an in depth discussion on the modeling of nonlinear 3-terminal devices with various examples of applications on circuits containing transistors. The third part focuses on the description of connection networks as WD adaptors. In particular, this part discusses how to model arbitrary reciprocal and non-reciprocal junctions in WD structures based on various definitions of wave signals and how to compute waves reflected from the scattering junctions in an efficient fashion. The fourth part focuses on the cases in which we cannot do without iterative solvers. In particular, it introduces a novel relaxation method based on WD principles, developed for implementing circuits with multiple nonlinearities. The method is called Scattering Iterative Method (SIM). A proven theorem guarantees that SIM converges when applied to circuits with an arbitrary number of nonlinearities characterized by monotonic voltage-current characteristics. As an example of application of this method, I show that power curves of large Photovoltaic (PV) arrays (constituted of thousands of nonlinear PV units) with arbitrary topologies can be obtained far more efficiently using the proposed SIM than using MNA-based approaches, (SIM is at least 30 times faster). I also show that SIM is highly parallelizable and suitable for the implementation of time-varying circuits. Moreover, a strategy for deriving WD models of dynamic elements based on arbitrary linear multi-step discretization methods with potentially adaptive time-step size is here introduced and discussed. This strategy allows us to describe capacitors and inductors using time-varying Thévenin or Norton equivalents, and proves particularly useful in conjunction with SIM for implementing dynamic circuits with multiple nonlinearities. These results also motivated the simulation of some audio circuits (e.g., a dynamic ring modulator), which proved SIM to be a promising implementation method that is also employable for virtual analog applications, as it is characterized by high efficiency, parallelizability and inherent capability of handling time-varying elements. The combination of the new techniques for modeling arbitrary reciprocal and non-reciprocal connection networks with SIM is promising for the future development of a general purpose simulation program which might be more efficient than Spice-like software, as far as the time-domain analysis of arbitrary nonlinear circuits is concerned. As a further example of application of WD principles, the last part of the thesis discusses a novel approach for implementing a class of differential beamformers using WDFs.

Questa tesi presenta il mio contributo a recenti sviluppi riguardanti la modellazione e l’implementazione di sistemi fisici lineari e nonlineari nel dominio Wave Digital (WD). L’obiettivo principale dei metodi WD è la costruzione di sistemi virtuali che emulino strutture fisiche in modo efficiente ed accurato. Nonostante i metodi descritti siano principalmente utilizzati per modellare circuiti analogici audio, le metodologie di modellazzione discusse in questa tesi sono sufficientemente generali da essere applicabili a qualsiasi sistema fisico a parametri concentrati rappresentabile tramite un equivalente elettrico. La possibilità di descrivere sistemi usando equivalenti elettrici ha rilevanti implicazioni non solo nel campo della simulazione, ma anche in quello dell’elaborazione numerica dei segnali. Infatti, essa ci consente di modellare diversi tipi di strutture di processamento di dati usando un approccio unificato e sistematico e di controllare le proprietà energetiche dei segnali processati sfruttando precise leggi fisiche. Tuttavia, l’implementazione digitale di circuiti, specialmente se nonlineari, presenta numerose difficoltà nel dominio Kirchhoff. Infatti, le variabili duali (correnti e tensioni) sono legate da equazioni implicite, ed in molti casi le dipendenze istantanee tra i segnali di ingresso ed i segnali di uscita non possono essere eliminate. I programmi software di simulazione circuitale più diffusi che, come Spice, sono basati sull’analisi nodale modificata, i.e., Modified Nodal Analysis (MNA), non sono sempre adatti alla realizzazione di applicazioni digitali efficienti ed interattive, principalmente perchè richiedono l’uso di metodi iterativi computazionalmente onerosi per risolvere sistemi di equazioni multidimensionali. I filtri ad onda numerica, o Wave Digital Filters (WDF), si presentano come una attraente alternativa ai metodi menzionati. I WDF, introdotti negli anni settanta da Alfred Fettweis, sono filtri digitali basati su una discretizzazione a parametri concentrati di circuiti analogici di riferimento. Un WDF è modellato partendo da un’analisi porta per porta di un circuito di riferimento, nella quale il circuito viene decomposto in componenti elementari (elementi mono-porta o multi-porta). Tramite una trasformazione lineare le variabili di porta nel dominio Kirchhoff sono usate per definire una coppia di onde numeriche per ogni porta (un’onda incidente ed una riflessa), introducendo un parametro libero, chiamato resistenza di porta. Le derivate temporali sono approssimate nel dominio a tempo discreto usando la trasformata bilineare, quindi le strutture digitali risultanti mantengono le proprietà di stabilità del circuito di riferimento. Elementi circuitali lineari possono essere rappresentati nel dominio WD da equazioni di scattering la cui onda riflessa non dipende istantaneamente dall’onda incidente; tali elementi si dicono “adattati". Nel dominio WD, le connessioni topologiche sono modellate in modo indipendente dagli elementi circuitali e sono descritte come giunzioni multi-porta caratterizzate da matrici di scattering, chiamate “adattatori". Se i parametri liberi di porta vengono settati adeguatamente, circuiti lineari possono essere implementati nel dominio WD in modo esplicito, ossia senza dover risolvere equazioni implicite. La maggior parte dei WDF tradizionali possono essere pensati come alberi di connessione binari costituiti da blocchi caratterizzati da equazioni di scattering esplicite; le foglie sono elementi lineari, i nodi sono adattatori 3-porte ed, eventualmente, la radice è un elemento nonlineare. Queste caratteristiche rendono i WDF interessanti candidati per la simulazione efficiente di circuiti e, più in generale, per la realizzazione di sistemi interattivi di processamento di segnali. Tuttavia, i WDF presentano anche importanti limiti. Il primo problema è che strutture WD computabili in modo completamente esplicito possono contenere solo una nonlinearità, poichè elementi nonlineari non possono essere adattati. Infatti, nonlinearità multiple danno origine ai cosidetti anelli privi di ritardo, i.e., delay-free loops, ossia relazioni implicite tra variabili di porta. Un secondo problema, fino a pochi anni fa, era la mancanza di metodi sistematici per implementare nel mondo WD reti di connessione arbitrarie, specialmente se contenenti componenti lineari multi-porta non reciproci, come nullori o generatori controllati. Inoltre, pochi studi sono stati presentati sull’utilizzo di metodi di discretizzazione alternativi alla trasformata bilineare e con passo di discretizzazione variabile. In seguito ad una descrizione dello stato dell’arte sulla modellazione WD di sistemi a parametri concentrati fino al 2015, anno di inizio del mio dottorato, presenterò varie tecniche per affrontare le problematiche menzionate. La prima parte della tesi presenta nuove definizioni di variabili d’onda, che generalizzano quelle esistenti. Sono discusse definizioni caratterizzate sia da uno che da due parametri liberi per porta. Le strutture WD con due parametri liberi per porta presentano una maggiore flessibilità di modellazione delle strutture tradizionali e sono chiamate Biparametric WDF. La seconda parte si focalizza su come implementare elementi nonlineari nel dominio WD, trovando un compromesso tra accuratezza ed efficienza. In particolare, si mostra come nonlinearità scalari possano essere rappresentate in forma canonica lineare a tratti nel dominio WD, si descrive un metodo basato sulla funzione di Lambert che permette di trovare espressioni analitiche esplicite nel dominio WD per descrivere nonlinearità esponenziali, e.g., diodi o BJT, e si offre una dettagliata discussione sulla modellazione nel dominio WD di elementi nonlineari a tre terminali, come i transistori o le valvole. La terza parte si focalizza sulla rappresentazione di arbitrarie reti di connessione reciproche e non reciproche come adattatori. Sono fornite espressioni generali delle corrispondenti matrici di scattering e sono presentate alcune strategie per calcolare le onde riflesse a partire dalle onde incidenti in modo efficiente. La quarta parte descrive un nuovo metodo di rilassamento nel dominio WD, chiamato Scattering Iterative Method (SIM), per implementare circuiti con molte nonlinearità. Si dimostra anche un teorema che garantisce la convergenza di SIM quando viene applicato a circuiti con un numero arbitrario di elementi nonlineari mono-porta aventi caratteristiche corrente-tensione monotone. SIM permette di svolgere molte operazioni in parallelo su diversi thread di esecuzione e non richiede modifiche sostanziali per gestire circuiti tempo-varianti. In uno degli esempi applicativi, si mostra che, usando SIM, si possono ottenere le curve di potenza di sistemi costituiti da migliaia di unità fotovoltaiche (pannelli o moduli), in modo più efficiente rispetto a tecniche tradizionali, basate su metodi di Newton-Raphson multidimensionali e MNA. Inoltre, nella quarta sezione, è descritto un approccio generale di modellazione di elementi dinamici basato su metodi di discretizzazione lineare multi-step con passo variabile. Questo approccio permette di derivare modelli WD di capacitori ed induttori usando equivalenti Thévenin o Norton tempo-varianti, ed è particolarmente adatto ad essere usato insieme a SIM per implementare circuiti dinamici con molte nonlinearità. Esempi di applicazione di SIM a circuiti audio nonlineari, e.g., un modulatore ad anello dinamico con quattro diodi, hanno dimostrato che SIM è particolarmente promettente anche per la realizzazione di applicazioni Virtual Analog efficienti ed accurate. Come ulteriore esempio applicativo di strutture WD, l’ultima parte di questa tesi descrive un nuovo approccio per implementare nel dominio a tempo-discreto algoritmi di beamforming differenziale usando WDF.

Advances in wave digital modeling of linear and nonlinear systems

BERNARDINI, ALBERTO

Abstract

This thesis presents my contribution to the recent evolution of modeling and implementation techniques of linear and nonlinear physical systems in the Wave Digital (WD) domain. The overarching goal of WD methods is to build digital implementations of analog systems, which are able to emulate the behavior of their analog counterpart in an efficient and accurate fashion. Though such methods usually focus on the WD modeling of analog audio circuits; the methodologies that we address in this thesis are general enough as to be applicable to whatever physical system that can be described by an equivalent electric circuit, which includes any system that can be thought of as a port-wise interconnection of lumped physical elements. Such systems, in fact, are fully described by a “dual” pair of Kirchhoff variables per port (e.g. a current-voltage pair, a force-velocity pair, etc.), and the circuit connecting such elements implements the topological relations that exist between them (e.g. Kirchhoff laws, laws of dynamics/fluid-dynamics, etc.). The possibility of describing systems through electrical equivalents has relevant implications not only in the field of numerical simulation of physical phenomena, but also in the field of digital signal processing, as it allows us to model different kinds of processing structures in a unified fashion and to easily manage the energetic properties of their input-output signals. However, digitally implementing nonlinear circuits in the Kirchhoff domain is not straightforward, because dual variables (currents and voltages) are related by implicit equations which make computability very hard, as instantaneous dependencies between input and output signals cannot be eliminated. Spice-like software, based on the Modified Nodal Analysis (MNA) framework, is not always suitable for realizing efficient and interactive digital applications, mainly because it requires the use of iterative methods for solving multi-dimensional systems of equations. WD Filters (WDFs) are a very attractive alternative. During the seventies, Alfred Fettweis introduced WDFs as a special category of digital filters based on a lumped discretization of reference analog circuits. A WDF is created by port-wise consideration of a reference circuit, i.e., decomposition into one-port and multi-port circuit elements, a linear transformation of Kirchhoff variables to wave signals (incident and reflected waves) with the introduction of a free parameter per port, called reference port resistance, and a discretization of reactive elements via the bilinear transform. Linear circuit elements, such as resistors, real sources, capacitors and inductors, can be described through wave mappings without instantaneous reflections, as they can be all “adapted" exploiting the mentioned free parameter; in such a way that local delay-free loops (implicit relations between port variables) are eliminated. Series and parallel topological connections between the elements are implemented using scattering topological junctions called “adaptors", which impose special adaptation conditions to eliminate global delay-free loops and ensure computability. It follows that WDFs, as opposed to approaches based on the MNA, allow us to model separately the topology and the elements of the reference circuit. Moreover, WDFs are characterized by stability, accuracy, pseudo-passivity, possibility of parameterization, modularity and low computational complexity, making many real-time interactive applications easy to be realized. Most classical WD structures can be implemented in an explicit fashion, using binary connection trees, whose leaves are linear one-ports, nodes are 3-port adaptors and the root may be a nonlinear element. However, WDFs are also characterized by important limitations. The first main weakness of state-of-the-art WDFs is that WD structures, characterized by explicit input-output relations, can contain only one non-linear element, as nonlinear elements cannot be adapted. In fact, the presence of multiple nonlinear elements might affect computability, which characterizes classical linear WDFs, as delay-free loops arise. As a second main limitation of traditional WDFs, up to three years ago, there were no systematic methods for modeling connection networks which embed non-reciprocal linear multi-ports, such as nullors or controlled sources. Finally, very few studies were presented on the use of discretization methods alternative to the bilinear transform and potentially varying step-size in WD structures. This thesis presents various techniques to overcome the aforementioned limitations. After a review of the state of the art on WD modeling of lumped systems up to 2015, this thesis begins with redefining wave signals, first by offering a unified definition that accommodates the existing ones (those based on one free parameter per port), then by introducing a new class of waves with two free parameters per port, which leads to WD structures that exhibit a doubled number of degrees of freedom, called “biparametric” WDFs. The second part discusses how to implement nonlinear one-port and multi-port elements in the WD domain; finding a compromise between accuracy, efficiency and robustness. In particular, it shows how scalar nonlinearities can be represented in canonical piecewise-linear form in the WD domain; it presents a technique based on the Lambert function to make a class of exponential nonlinearities, e.g., diodes or Bipolar Junction Transistors, explicit in the WD domain; and it provides an in depth discussion on the modeling of nonlinear 3-terminal devices with various examples of applications on circuits containing transistors. The third part focuses on the description of connection networks as WD adaptors. In particular, this part discusses how to model arbitrary reciprocal and non-reciprocal junctions in WD structures based on various definitions of wave signals and how to compute waves reflected from the scattering junctions in an efficient fashion. The fourth part focuses on the cases in which we cannot do without iterative solvers. In particular, it introduces a novel relaxation method based on WD principles, developed for implementing circuits with multiple nonlinearities. The method is called Scattering Iterative Method (SIM). A proven theorem guarantees that SIM converges when applied to circuits with an arbitrary number of nonlinearities characterized by monotonic voltage-current characteristics. As an example of application of this method, I show that power curves of large Photovoltaic (PV) arrays (constituted of thousands of nonlinear PV units) with arbitrary topologies can be obtained far more efficiently using the proposed SIM than using MNA-based approaches, (SIM is at least 30 times faster). I also show that SIM is highly parallelizable and suitable for the implementation of time-varying circuits. Moreover, a strategy for deriving WD models of dynamic elements based on arbitrary linear multi-step discretization methods with potentially adaptive time-step size is here introduced and discussed. This strategy allows us to describe capacitors and inductors using time-varying Thévenin or Norton equivalents, and proves particularly useful in conjunction with SIM for implementing dynamic circuits with multiple nonlinearities. These results also motivated the simulation of some audio circuits (e.g., a dynamic ring modulator), which proved SIM to be a promising implementation method that is also employable for virtual analog applications, as it is characterized by high efficiency, parallelizability and inherent capability of handling time-varying elements. The combination of the new techniques for modeling arbitrary reciprocal and non-reciprocal connection networks with SIM is promising for the future development of a general purpose simulation program which might be more efficient than Spice-like software, as far as the time-domain analysis of arbitrary nonlinear circuits is concerned. As a further example of application of WD principles, the last part of the thesis discusses a novel approach for implementing a class of differential beamformers using WDFs.
PERNICI, BARBARA
CESANA, MATTEO
20-mar-2019
Questa tesi presenta il mio contributo a recenti sviluppi riguardanti la modellazione e l’implementazione di sistemi fisici lineari e nonlineari nel dominio Wave Digital (WD). L’obiettivo principale dei metodi WD è la costruzione di sistemi virtuali che emulino strutture fisiche in modo efficiente ed accurato. Nonostante i metodi descritti siano principalmente utilizzati per modellare circuiti analogici audio, le metodologie di modellazzione discusse in questa tesi sono sufficientemente generali da essere applicabili a qualsiasi sistema fisico a parametri concentrati rappresentabile tramite un equivalente elettrico. La possibilità di descrivere sistemi usando equivalenti elettrici ha rilevanti implicazioni non solo nel campo della simulazione, ma anche in quello dell’elaborazione numerica dei segnali. Infatti, essa ci consente di modellare diversi tipi di strutture di processamento di dati usando un approccio unificato e sistematico e di controllare le proprietà energetiche dei segnali processati sfruttando precise leggi fisiche. Tuttavia, l’implementazione digitale di circuiti, specialmente se nonlineari, presenta numerose difficoltà nel dominio Kirchhoff. Infatti, le variabili duali (correnti e tensioni) sono legate da equazioni implicite, ed in molti casi le dipendenze istantanee tra i segnali di ingresso ed i segnali di uscita non possono essere eliminate. I programmi software di simulazione circuitale più diffusi che, come Spice, sono basati sull’analisi nodale modificata, i.e., Modified Nodal Analysis (MNA), non sono sempre adatti alla realizzazione di applicazioni digitali efficienti ed interattive, principalmente perchè richiedono l’uso di metodi iterativi computazionalmente onerosi per risolvere sistemi di equazioni multidimensionali. I filtri ad onda numerica, o Wave Digital Filters (WDF), si presentano come una attraente alternativa ai metodi menzionati. I WDF, introdotti negli anni settanta da Alfred Fettweis, sono filtri digitali basati su una discretizzazione a parametri concentrati di circuiti analogici di riferimento. Un WDF è modellato partendo da un’analisi porta per porta di un circuito di riferimento, nella quale il circuito viene decomposto in componenti elementari (elementi mono-porta o multi-porta). Tramite una trasformazione lineare le variabili di porta nel dominio Kirchhoff sono usate per definire una coppia di onde numeriche per ogni porta (un’onda incidente ed una riflessa), introducendo un parametro libero, chiamato resistenza di porta. Le derivate temporali sono approssimate nel dominio a tempo discreto usando la trasformata bilineare, quindi le strutture digitali risultanti mantengono le proprietà di stabilità del circuito di riferimento. Elementi circuitali lineari possono essere rappresentati nel dominio WD da equazioni di scattering la cui onda riflessa non dipende istantaneamente dall’onda incidente; tali elementi si dicono “adattati". Nel dominio WD, le connessioni topologiche sono modellate in modo indipendente dagli elementi circuitali e sono descritte come giunzioni multi-porta caratterizzate da matrici di scattering, chiamate “adattatori". Se i parametri liberi di porta vengono settati adeguatamente, circuiti lineari possono essere implementati nel dominio WD in modo esplicito, ossia senza dover risolvere equazioni implicite. La maggior parte dei WDF tradizionali possono essere pensati come alberi di connessione binari costituiti da blocchi caratterizzati da equazioni di scattering esplicite; le foglie sono elementi lineari, i nodi sono adattatori 3-porte ed, eventualmente, la radice è un elemento nonlineare. Queste caratteristiche rendono i WDF interessanti candidati per la simulazione efficiente di circuiti e, più in generale, per la realizzazione di sistemi interattivi di processamento di segnali. Tuttavia, i WDF presentano anche importanti limiti. Il primo problema è che strutture WD computabili in modo completamente esplicito possono contenere solo una nonlinearità, poichè elementi nonlineari non possono essere adattati. Infatti, nonlinearità multiple danno origine ai cosidetti anelli privi di ritardo, i.e., delay-free loops, ossia relazioni implicite tra variabili di porta. Un secondo problema, fino a pochi anni fa, era la mancanza di metodi sistematici per implementare nel mondo WD reti di connessione arbitrarie, specialmente se contenenti componenti lineari multi-porta non reciproci, come nullori o generatori controllati. Inoltre, pochi studi sono stati presentati sull’utilizzo di metodi di discretizzazione alternativi alla trasformata bilineare e con passo di discretizzazione variabile. In seguito ad una descrizione dello stato dell’arte sulla modellazione WD di sistemi a parametri concentrati fino al 2015, anno di inizio del mio dottorato, presenterò varie tecniche per affrontare le problematiche menzionate. La prima parte della tesi presenta nuove definizioni di variabili d’onda, che generalizzano quelle esistenti. Sono discusse definizioni caratterizzate sia da uno che da due parametri liberi per porta. Le strutture WD con due parametri liberi per porta presentano una maggiore flessibilità di modellazione delle strutture tradizionali e sono chiamate Biparametric WDF. La seconda parte si focalizza su come implementare elementi nonlineari nel dominio WD, trovando un compromesso tra accuratezza ed efficienza. In particolare, si mostra come nonlinearità scalari possano essere rappresentate in forma canonica lineare a tratti nel dominio WD, si descrive un metodo basato sulla funzione di Lambert che permette di trovare espressioni analitiche esplicite nel dominio WD per descrivere nonlinearità esponenziali, e.g., diodi o BJT, e si offre una dettagliata discussione sulla modellazione nel dominio WD di elementi nonlineari a tre terminali, come i transistori o le valvole. La terza parte si focalizza sulla rappresentazione di arbitrarie reti di connessione reciproche e non reciproche come adattatori. Sono fornite espressioni generali delle corrispondenti matrici di scattering e sono presentate alcune strategie per calcolare le onde riflesse a partire dalle onde incidenti in modo efficiente. La quarta parte descrive un nuovo metodo di rilassamento nel dominio WD, chiamato Scattering Iterative Method (SIM), per implementare circuiti con molte nonlinearità. Si dimostra anche un teorema che garantisce la convergenza di SIM quando viene applicato a circuiti con un numero arbitrario di elementi nonlineari mono-porta aventi caratteristiche corrente-tensione monotone. SIM permette di svolgere molte operazioni in parallelo su diversi thread di esecuzione e non richiede modifiche sostanziali per gestire circuiti tempo-varianti. In uno degli esempi applicativi, si mostra che, usando SIM, si possono ottenere le curve di potenza di sistemi costituiti da migliaia di unità fotovoltaiche (pannelli o moduli), in modo più efficiente rispetto a tecniche tradizionali, basate su metodi di Newton-Raphson multidimensionali e MNA. Inoltre, nella quarta sezione, è descritto un approccio generale di modellazione di elementi dinamici basato su metodi di discretizzazione lineare multi-step con passo variabile. Questo approccio permette di derivare modelli WD di capacitori ed induttori usando equivalenti Thévenin o Norton tempo-varianti, ed è particolarmente adatto ad essere usato insieme a SIM per implementare circuiti dinamici con molte nonlinearità. Esempi di applicazione di SIM a circuiti audio nonlineari, e.g., un modulatore ad anello dinamico con quattro diodi, hanno dimostrato che SIM è particolarmente promettente anche per la realizzazione di applicazioni Virtual Analog efficienti ed accurate. Come ulteriore esempio applicativo di strutture WD, l’ultima parte di questa tesi descrive un nuovo approccio per implementare nel dominio a tempo-discreto algoritmi di beamforming differenziale usando WDF.
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