First order analytical solution for distant retrograde orbits in the circular restricted three-body problem

The work carried out in this thesis mainly concerns the Circular Restricted Three Body Problem (CR3BP). The CR3BP attracted the attention of many researchers and mathematicians since it was considered for the first time 3 centuries ago. The main reason for this continuous interest is that this mathematical model represents a good first approximation in a series of real scenarios in orbital mechanics. In the framework of the planar CR3BP this thesis focuses on the study of distant retrograde orbits and in particular aims at finding an approximate analytical solution for this type of orbit. The periodic distant retrograde orbit derives from the work of Hénon who developed a systematic theory for the study of periodic orbits in the CR3BP. The work of Hénon is limited to the problem of Hill, which is a special case of the CR3BP in which the mass parameter of the system tends to zero. Hénon calculated periodic and non-periodic orbits; in the present work, we limit our attention only to periodic orbits. In particular, only the family f is taken into consideration and analysed. Starting from valid initial conditions given by Hénon for the model of Hill, we reproduced the evolution of these families in the CR3BP (that is, where the gravitational parameter is a finite and constant value). A differential correction method, together with a continuation method, has been exploited to find the initial conditions for each orbit in the CR3BP obtaining the complete continuation of these periodic orbits. The most interesting feature of these orbits is the great distance that they reach from the second attractor, while they continue to orbit around it. Then we rewrote the problem with a Lagrangian approach and then, using the variational principles, we rewrote the CR3BP model in the Hamiltonian form. This last form is convenient because it allows to reduce the problem to a series of differential equations of the first order. Before applying the perturbation theory, a Taylor series expansion on CR3BP was done in order to obtain a model that turns out to be a intermediate step between that of Hill and the CR3BP that we will call CR3BP-1. Since this latter model is still complex, the less relevant terms have been neglected, this model will be called CR3BP-1_13. Subsequently, the classical perturbation theory was applied, applying a canonical transformation to the non-perturbed part of Hamiltonian (quadratic form of the Hamiltonian) and subsequently applying the Lie transform. This leads to a series of differential equations of more immediate analytical solution. This procedure was created for the Hill model and then for the CR3BP-1_13. These solution was then compared with the numerical solution, both in terms of maximum error and in terms of computational speed, resulting very reliable and computationally fast compared to the numerical model.

Il lavoro svolto in questa tesi riguarda prevalentemente il Circular Restricted Three Body Problem (CR3BP). Il CR3BP ha attirato l'attenzione di molti ricercatori e matematici da quando è stato preso in considerazione per la prima volta 3 secoli fa. La ragione principale di questo continuo interesse è che questo modello matematico rappresenta una buona prima approssimazione in una serie di scenari reali in meccanica orbitale. Nel quadro del planar CR3BP questa tesi si concentra sullo studio di orbite retrograde distanti e in particolare per cercare di trovare una prima soluzione analitica approsimata per questo tipo di orbite. Le orbite retrograde distanti periodiche derivano dal lavoro di Hénon che ha sviluppato una teoria sistematica per lo studio delle orbite periodiche nel CR3BP. Il lavoro di Hénon è limitato al problema di Hill, il quale rappresenta un caso particolare del CR3BP in cui il parametro di massa del sistema tende a zero. Hénon ha calcolato orbite periodiche e non periodiche; nel presente lavoro, limitiamo la nostra attenzione solo alle orbite periodiche. In particolare è stata presa in considerazione e analizzata solo la famiglia f. Partendo dalle condizioni iniziali di Hénon valide per il modello di Hill abbiamo riprodotto l'evoluzione di queste famiglie di orbite periodiche nel CR3BP (cioè, dove il parametro gravitazionale risulta essere un valore finito e costante). Un metodo di correzione differenziale, insieme a un metodo di continuazione, è stato applicato per trovare le condizioni iniziali per ciascuna orbita nel CR3BP ottenendo la continuazione completa di queste orbite periodiche. La caratteristica più interessante di queste orbite è la grande distanza che raggiungono dal secondo attrattore, mentre continuano ad orbitare intorno ad esso. Successivamente abbiamo riscritto il problema con un approccio Lagrangiano e poi, sfruttando i principi variazionali, abbiamo riscritto il modello CR3BP nella forma di Hamiltoniano. Quest'ultima forma risulta comoda in quanto permette di ridurre il problema ad una serie di equazioni differenziali del primo ordine. Prima di di applicare la teoria perturbativa è stato fatto un'espansione in serie di Taylor sul CR3BP in modo da ottenere un modello che risulta essere una via di mezzo tra quello di Hill e il CR3BP che chiameremo CR3BP-1. Dato che quest'ultimo modello risulta essere ancora complesso, sono stati trascurati i termini meno rilevanti questo modello verrà chiamato CR3BP-1_13. Successivamente, è stata applicata la teoria classica delle perturbazioni, applicando una trasformata canonica alla parte di Hamiltoniano non perturbato (forma quadratica dell'Hamiltoniano) e successivamente applicando la trasformata di Lie. Questo porta a una serie di equazioni differenziali di più immediata soluzione analitica. Tale procedimento è stato realizzato prima per il modello di Hill e poi per il CR3BP-1_13. Queste soluzioni sono stata poi confrontata con la soluzine numerica, sia in termine di errore massimo sia in termini di velocità computazionale, risultando molto affidabile e computazionalmente veloce.