Derivation of the Ginzburg-Landau equation and its application to the Taylor-Couette flow

In this thesis work, we studied the fluid dynamic stability of flows that are invariant, i.e. homogeneous, in one direction or more. The developed theory was then applied to the particular flow that develops between two rotating concentric cylinders, the Taylor-Couette flow. This stationary base flow in fact has two homogeneous directions along which it is symmetric by translation and reflection-the axial direction-and by rotation-the azimuthal direction. This work is divided in two major parts: the first part is a preparatory study of the linear stability, both inviscid and viscous, of the 2D Taylor-Couette flow. The second part is the main contribution of this work and deals with the nonlinear stability of the aformentioned base flow. As regards the first part, a parametric analysis of the linear stability of the Taylor-Couette flow was carried out including all the parameters that play a role in the governing equations, fluid dynamic parameters, geometric parameters and kinematic parameters. In this context, the Taylor-Couette flow was obtained as an exact solution starting from the Navier-Stokes equations and then the equations describing the perturbations of the velocity and pressure fields were obtained and analysed under the hypothesis of validity of the linear theory. Coming to the second part of this work, we first explained the theory used to investigate the nonlinear stability of a generic dynamical system, and then we applied it to the Navier-Stokes equations considering the Taylor-Couette flow as a fixed point of the system. The need to investigate the nonlinear stability of our system lies in the fact that the Taylor-Couette solution can give rise to non-hyperbolic equilibrium states, for which there exists at least one eigenvalue of the associated linearised system, with null real part. In this case the linear stability is not able, alone, to predict the stability of the fixed point, and the only way to ascertain its stability is to apply methods that take into account the nonlinearities that are present in the governing equations. In particular, the method we used lies in the class of the perturbation methods and consists in carrying out an asymptotic expansion of the solution around a critical point of the linearised system. Using the multiple-scale method, it is possible to derive an equation-known as Ginzburg-Landau equation-which describes the nonlinear dynamics of the system right in the neighbourhood of the considered critical point. This equation has been applied to the first instability of the Taylor-Couette flow to axisymmetric disturbances and it has been solved under several conditions. Finally these solutions have been used to test the accuracy of the Ginzburg-Landau model to predict the complete solutions of particular Navier-Stokes problems.

In questo lavoro di tesi, si è studiata la stabilità di correnti fluide con determinate proprietà di simmetria. Tali proprietà sono l'invarianza rispetto a traslazioni e rotazioni lungo due direzioni specifiche. La teoria sviluppata è stata poi applicata alla corrente che si sviluppa tra due cilindri concentrici rotanti, nota come corrente di Taylor-Couette. Questa corrente base stazionaria possiede infatti due direzioni omogenee lungo le quali la corrente è simmetrica per traslazione e riflessione-la direzione assiale-e per rotazione-la direzione azimutale. Il seguente elaborato è diviso in due parti principali: la prima riguarda lo studio della stabilità lineare, inviscida e viscosa, della corrente di Taylor-Couette. La seconda parte tratta invece la stabilità non lineare e rappresenta il maggior contributo di questo lavoro. Per quanto riguarda la prima parte, si è impostato e risolto il problema relativo alla stabilità lineare della corrente di Taylor-Couette conducendo un'analisi parametrica che coinvolgesse tutti i parametri in gioco, fluidodinamici, geometrici e cinematici. Nella fattispecie è stata ricavata la soluzione esatta di Taylor-Couette a partire dalle equazioni di Navier-Stokes per poi ricavare e analizzare le equazioni che descrivono le perturbazioni del campo di velocità e del campo di pressione sotto le ipotesi di validità della teoria lineare. Proseguendo con la seconda parte dell'elaborato, si è passati a spiegare la teoria basata sullo studio della stabilità non lineare di un generico sistema dinamico, per poi applicare la trattazione alle equazioni di Navier-Stokes considerando come punto fisso del sistema la corrente di Taylor-Couette. La necessità di dover indagare la stabilità non lineare del nostro sistema risiede nel fatto che la soluzione base di Taylor-Couette può dar luogo a stati di equilibrio non iperbolici, ossia tali per cui esiste almeno un autovalore del sistema linearizzato associato che ha parte reale nulla. In questo caso la sola stabilità lineare non è in grado di predire la stabilità del punto fisso in questione, la quale va accertata mediante l'applicazione di metodi che facciano intervenire i termini non lineari presenti nelle equazioni di governo. In particolare, il metodo che si è utilizzato si colloca tra i metodi perturbativi e consiste nell'effettuare un'espansione asintotica della soluzione nell'intorno di un punto critico del sistema linearizzato. Abbinando all'espansione asintotica il metodo delle scale multiple, è stato possibile derivare un'equazione-nota come equazione di Ginzburg-Landau-che descrive la dinamica non lineare del nostro sistema proprio nell'intorno del punto critico considerato. Questa equazione è stata applicata all'instabilità del flusso di Taylor-Couette rispetto a disturbi assialsimmetrici ed è stata risolta in diverse condizioni. Ciò ha permesso in ultimo di valutare l'accuratezza del modello di Ginzburg-Landau nel predire la soluzione completa di particolari problemi di Navier-Stokes.