Global stability analysis of a 90°-bend pipe flow

The present work deals with the global stability analysis of the flow in pipes with a 90 degree bend, with curvature ratio equal to 0.3. The spectral element code Nek5000 is used to perform direct numerical simulations for values of the Reynolds number between 2000 and 3000 whereas, for the computation of the eigenvalues and eigenvectors, the implicitly restarted Arnoldi method (IRAM), implemented in the software package ARPACK, is employed. It is found that the flow is steady for values of the Reynolds number up to 2500, and that two pairs of symmetric counter-rotating vortices are observed in the section of the pipe downstream the bend. Moreover, two recirculation regions are present inside the bend, on the outer and inner wall, respectively. For values of the Reynolds number greater or equal to 2550, the flow becomes unsteady and a periodic regime with a fundamental circular frequency equal to 1.445 is established. The global stability analysis reveals a pair of complex conjugate eigenvalues with positive real part. A comparison between the results obtained by DNS and those provided by the stability analysis shows that the latter correctly captures the frequency of the unstable eigenvalue, whereas it slightly overestimates the growth rate. The analysis of the eigenvalues in the stable case leads to conclude that a Hopf bifurcation occurs for a value of the Reynolds number equal to 2529.36. The velocity components of the unstable direct and adjoint eigenmodes are investigated, and it is observed that a large spatial separation occurs because of the nonnormality of the linearised Navier–Stokes operator. Moreover, the inlet section and the region immediately downstream the bend inlet are found to be those with the highest receptivity to momentum forcing and initial conditions. Finally, an analysis of the structural sensitivity to spatially localized feedbacks is performed, in order to identify the core of the instability, the so-called “wavemaker”. It is found that the region located 15 degrees downstream the bend inlet, on the outer wall, is where the instability originates. Since flow separation is observed in this region, it is concluded that the instability is linked with the backflow phenomena.

Il presente lavoro si occupa dell’analisi di stabilità globale della corrente in tubi con curve a 90 gradi, con rapporto di curvatura pari a 0.3. Si utilizza il codice ad elementi spettrali Nek5000 per eseguire DNS a valori del numero di Reynolds compresi tra 2000 e 3000, mentre per il calcolo degli autovalori e degli autovettori si utilizza il metodo IRAM, implementato nel pacchetto software ARPACK. La corrente è stazionaria per valori del numero di Reynolds inferiori a 2500, e si osservano due paia di vortici, simmetrici e controrotanti, nella sezione del tubo a valle della curva. Inoltre, sono presenti due zone di ricircolo all’interno della curva, sulla parete esterna e su quella interna. Per valori del numero di Reynolds maggiori o uguali a 2550, la corrente diventa instazionaria e si ha un regime periodico, con una frequenza circolare fondamentale pari a 1.445. L’analisi di stabilità globale rivela una coppia di autovalori complessi coniugati con parte reale positiva. Un confronto tra i risultati ottenuti dalle DNS e quelli dell’analisi di stabilità mostra che quest’ultima cattura correttamente la frequenza dell’autovalore instabile, mentre sovrastima leggermente il tasso di crescita. L’analisi degli autovalori nel caso stabile porta a concludere che si verifica una biforcazione di Hopf per un valore del numero di Reynolds pari a 2529.36. Si analizzano le componenti di velocità dell’autovettore instabile diretto e di quello aggiunto, e si osserva che c’è una grande separazione spaziale, dovuta alla nonnormalità dell’operatore di Navier–Stokes linearizzato. Inoltre, si trova che la sezione d’ingresso e la regione subito dopo l’ingresso della curva sono quelle con la più alta ricettività alle forzanti di quantità di moto e alle condizioni iniziali. Infine, si esegue un’analisi di sensitività strutturale alle retroazioni localizzate in spazio al fine di identificare il meccanismo dell’instabilità, il cosiddetto “wavemaker”. Si trova che la regione situata 15 gradi a valle dell’ingresso della curva, sulla parete esterna, è dove ha origine l’instabilità. Poichè si osserva separazione della corrente in questa regione, si conclude che l’instabilità è collegata a tale fenomeno.