Active and passive mechanics of the atria of the human heart : mathematical and numerical modelling

The aim of this work is to develop a mathematical model for the atrial active mechanics and to simulate their contraction for idealized geometries. We consider a transversely isotropic model for the passive mechanics of the atria to take into account the anisotropy of the tissue. Since the heart muscle experiences small volume changes during its contraction, we opt for a nearly-incompressible formulation. In order to account for the active mechanics, we follow the active stress approach. Then, we approximate the mathematical model with the finite element method to simulate the atrial contraction and we construct an idealized geometry used to perform the simulations. To include the fiber structure we propose a method aimed at qualitatively reproducing the main fiber bundles. By means of the numerical simulations we analyze the deformations, the stress along the fiber direction, the fraction of blood ejected during the contraction and the volume change of the muscle. To the best of our knowledge, this work represents one of the first attempts to build a simplified framework for the modelling of atrial mechanics.

Questo lavoro si propone di sviluppare un modello matematico per la meccanica attiva degli atri del cuore umano e di simulare la loro contrazione su geometrie idealizzate. Per la meccanica passiva consideriamo un modello trasversalmente isotropo al fine di tenere in considerazione l'anisotropia del tessuto. Poichè il volume del muscolo cardiaco si riduce leggermente durante la contrazione, utilizziamo una formulazione quasi-incomprimibile. Per includere la meccanica attiva, invece, seguiamo un approccio active stress. Al fine di simulare la contrazione degli atri approssimiamo il modello matematico con il metodo degli elementi finiti, dopodichè costruiamo una geometria idealizzata per l'atrio sinistro per svolgere le simulazioni. Per includere la struttura delle fibre, che negli atri è particolarmente complessa, proponiamo un metodo finalizzato a riprodurre qualitativamente i principali fasci di fibre della muscolatura. Sulla base dei risulati delle simulazioni analizziamo le deformazioni ottenute, gli sforzi nella direzione delle fibre, la frazione di volume di sangue espulsa dal cuore durante la contrazione e la riduzione di volume del muscolo cardiaco. Al meglio delle nostre conoscenze, questo lavoro rappresenta uno dei primi tentativi di costruire un contesto semplificato per la modellizzazione della meccanica atriale.