A recovery-based error estimator for advection-diffusion-reaction problems solved with discontinuous finite elements

We introduce an a posteriori error estimator based on gradient and solution recovery for advection-diffusion-reaction problems in R2 solved with discontinuous finite element methods. In particular, we employ such estimator to drive isotropic and anisotropic mesh adaptivity processes when the exact solution presents internal or boundary layers. First of all, we introduce the isotropic mesh adaptation procedure in the context of continuous finite elements; secondly, we provide the discrete formulation of a generic advection-diffusion-reaction problem with the discontinuous Galerkin method. Starting from this formulation, we derive an error estimator from the energy norm of the discrete problem. To this end, we follow the typical approach of recovery-based estimators: in place of the exact solution and of its gradient, we use appropriate averages of the numerical solution or its gradient, respectively. Finally, we define an anisotropic counterpart of the estimator in order to drive an anisotropic mesh adaptivity process. Numerical tests are provided to analyse and validate the error estimator and the mesh adaptation in both the isotropic and anisotropic frameworks. An application to the transport of oxygen in blood shows the potentialities of the estimator also in practical contexts.

Viene introdotto uno stimatore a posteriori dell'errore basato sulla ricostruzione del gradiente e della soluzione di problemi di diffusione , reazione e trasporto in R2 risolti con il metodo degli elementi finiti discontinui. In particolare, impieghiamo tale stimatore per condurre processi di adattazione di griglia isotropi e anisotropi quando la soluzione presenta strati limite interni o esterni. In primo luogo, introduciamo il processo di adattazione di griglia nel contesto degli elementi finiti continui; secondariamente, forniamo la formulazione discreta di un generico problema di diffusione, reazione e trasporto con il metodo di Galerkin discontinuo. A partire da questa formulazione, deriviamo uno stimatore dell'errore dalla norma dell'energia del problema discreto. A questo scopo, seguiamo l'approccio tipico degli stimatori recovery-based: al posto della soluzione esatta e del suo gradiente, usiamo opportune medie rispettivamente della soluzione numerica e del suo gradiente. Infine, definiamo una controparte anisotropa dello stimatore al fine di condurre un processo di adattazione di griglia anisotropo. Lo stimatore dell'errore e l'adattazione di griglia isotropa e anisotropa sono analizzati e validati mediante casi test. Un'applicazione al trasporto di ossigeno nel sangue mostra le potenzialità dello stimatore anche in contesti pratici.