Hybrid data assimilation : a benchmark study and applications

Data Assimilation is used to estimate the state and parameters of a system, knowing a mathematical model (even an uncertain one) that defines the evolution and a series of measurements carried out in time. Usually DA algorithms can be divided into algorithms for variational DA and algorithms for sequantial DA. The formers try to optimize a cost function that indicated the displacement between the measurements and the predictions that can be done about the system evolution, starting from given initial conditions and considering the uncertainty of the measurements and the background. The main algorithm is the 4D-Var that considers the measurements and the predictions related to a fixed DA window. There exists a simpler version, the 3D-Var, that considers only single instants, without taking into account the system flow. Sequential algorithms, instead, origin from statistical considerations. Starting from the simpler estimators (Bayesians, BLUES, ...), well known algorithms have been discovered: the Kalman filters and derived algorithms, overall the ones that are able to estimate nonlinear systems. Among the latters, there are certain particular algorithms that make use of ensemble, that is a set of point thanks to which both the analysis and the uncertainty of the analysis itself are represented. Certain relations are known among these two categories (e.g. 3D-Var and KF are formally equivalent) and there exist combinations of the two approaches, that is Hybrid DA. Such combinations decrease the disadvantages of the single categories and improve the stability and accuracy of the analysis. In this thesis the state-of-the-art of DA algorithms is investigated, with particular focus on hybrid Da. In particular, attention was focused on the Iterative Ensemble Kalman Smoother (IEnKS), that combines the use of a cost function similar to the one of 4D-Var with the characteristics of Ensemble Kalman Filters. Results on stability and convergence of the most common statistic algorithms are already known as well as results on the convergence of variational algorithms applied to linear systems. Some of these results are extended within this text, and it is prooved the convergence of Variational algorithms (and of IEnKS) even in the case of particular nonlinear system. Eventually, all the considered algorithms have been tested with the Lorenz-95 model, widely used in litterature to perform benchmark of DA algorithms. Both the computing cost and the accuracy obtained with the chosen algorithms have been taken into account during every test case.

La data assimilation `e utilizzata per stimare stato e parametri di un sistema, noti un modello matematico (eventualmente incerto) che ne definisce l’evoluzione e una serie di misurazioni effettuate nel tempo. Normalmente gli algoritmi di DA si dividono in algoritmi per la DA variazionale e algoritmi per la DA sequenziale. I primi cercano di minimizzare una funzione di costo che indica lo scostamento tra le misurazioni e le previsioni che possono essere fatte sull’evoluzione del sistema, a partire da determinate condizioni iniziali e tenuto conto dell’incertezza di misure e background. Il principale algoritmo `e il 4D-Var che tiene conto di misure e previsioni relative ad una finestra di DA fissata. Esiste una versione pi`u semplice, il 3D-Var, che tiene conto solo dei singoli istanti, senza preoccuparsi dell’andamento del sistema. Gli algoritmi sequenziali, partono invece da considerazioni statistiche. A partire dagli stimatori pi`u semplici (Bayesiani, BLUE, . . . ), si `e giunti alla definizione di algoritmi ben noti: i filtri di Kalman, e altri algoritmi derivati, soprattutto quelli atti alla stima di sistemi non lineari. Tra questi ultimi, spiccano gli algoritmi che fanno uso di ensemble, cio`e un gruppo di punti mediante i quali si rappresenta sia l’analisi che l’incertezza dell’analisi stessa. Sono note delle relazioni tra queste due categorie di algoritmi (per esempio 3D-Var e KF sono matematicamente equivalenti) ed esistono combinazioni dei due approcci, vale a dire algoritmi di DA Ibrida. Queste combinazioni diminuiscono gli svantaggi delle singole categorie ed aumentano la robustezza e la precisione dell’analisi. In questa tesi si analizza lo stato dell’arte degli algoritmi di DA, con particolare attenzione alla DA Ibrida. In particolare, l’attenzione `e stata concentrata sull’Iterative Ensemble Kalman Smoother (IEnKS), che arricchisce l’utilizzo di una funzione di costo molto simile a quello utilizzato dal 4D-Var con le caratteristiche degli Ensemble Kalman Filters. Sono gi`a noti in letteratura risultati sulla stabilit`a e sulla convergenza dei principali algoritmi statistici e sono presenti risultati per gli algoritmi variazionali applicati a sistemi lineari. Alcuni di questi risultati vengono qui estesi provando la convergenza degli algoritmi Variazionali (e dell’IEnKS) anche nel caso di alcuni sistemi non lineari. Infine, gli algoritmi esaminati sono stati tutti testati sul modello di Lorenz-95, ampiamente utilizzato in letteratura per eseguire benchmark su algoritmi di DA. Sono stati valutati sia il costo computazionale degli algoritmi presi in esame che la precisione raggiunta durante ogni test.