Ensemble Kalman filter for multiscale inverse problems

In this work we present a new method to solve multiscale inverse problems, based on the ensemble Kalman filter. First, we apply the iterative ensemble Kalman algorithm to solve simple inverse problems. Then, we consider a class of multiscale elliptic partial differential equations, and we use a coarse model, based on numerical homogenization and finite element discretization, to recover, through the ensemble Kalman method, a highly oscillatory tensor from measurements of the multiscale solution. In particular, we study the properties of the solution obtained with this coarse-grained approach with respect to the multiscale and discretization parameters, providing a novel convergence result. Furthermore, we reinterpret our method from a Bayesian perspective and prove convergence of the posterior distribution to the fine scale posterior in terms of the Wasserstein distance. Finally, we show numerical experiments in order to validate our method and confirm the theoretical results, with a particular emphasis on modelling error and computational cost.

In questo progetto presentiamo un nuovo metodo per risolvere problemi inversi multiscala basato sul filtro di Kalman d’insieme. In primo luogo, applichiamo l’algoritmo iterativo del filtro di Kalman d’insieme a semplici problemi inversi. Successivamente, consideriamo una classe di equazioni differenziali alle derivate parziali multiscala, e, attraverso una loro approssimazione basata su omogeneizzazione numerica e discretizzazione ad elementi finiti, ricostruiamo, utilizzando il filtro di Kalman d’insieme, il tensore fortemente oscillante date osservazioni del modello multiscala. Più precisamente, studiamo le proprietà della soluzione approssimata rispetto all’ampiezza delle oscillazioni e al parametro di discretizzazione, fornendo un nuovo risultato di convergenza. Inoltre, reinterpretiamo il metodo da un punto di vista bayesiano e dimostriamo la convergenza della distribuzione a posteriori approssimata nel senso della distanza di Wasserstein. Infine, mostriamo esperimenti numerici per convalidare il nostro metodo e avvalorare i risultati teorici, concentrandoci, in particolare, sull’errore di modello e sul costo computazionale.