Finite element approximation of a 3D beam laying on an elastic surface

The aim of this project is the development of a simulation of a 3D model describing the mechanical behaviour of an Euler-Bernoulli beam that is laid on a generic surface. The beam is laid on an elastic surface endowed with a spring modelling of the normal contact and with a stick-slip modelling of the friction. The first part will concern the static and dynamic mathematical modelling of an elastic beam in three dimension with a non-linear coupling between bending and axial traction. Then the mathematical description of the obstacle and of contact interaction will be formalized. The abstract variational formulation of the model will be written and the well-posedness will be proven for the free beam problems, linear and coupled non-linear. Then the model will be discretized through a finite element analysis using Hermite shape functions for the spatial problem and with a semi-discretization in time. Different resolution methods will be analysed: for the steady solver the problem will be linearised through a Newton scheme while for the unsteady solver two time schemes will be designed using a semi-implicit treatment of the non-linearities. Finally a solver will be implemented using the described methods to solve the former problem. The static and dynamic solvers will be validated in both one and three dimensions through analytical solutions for the free beam problems and using some benchmarks coming from the results of a commercial code for the contact problem.

Lo scopo di questo lavoro di tesi è lo sviluppo di una simulazione 3D del comportamento meccanico di una trave di Eulero-Bernoulli che si appoggia su un ostacolo generico. La trave viene appoggiata su un ostacolo elastico modellando la risposta normale come una molla elastica e usando un modello stick-slip per l'attrito tangenziale. La prima parte tratterà nello sviluppo di un modello matematico, statico e dinamico, di una trave elastica tridimensionale con aggiunta di accoppiamento non lineare tra momenti e azione assiale. Successivamente la descrizione matematica dell'interazione con l'ostacolo verrà formalizzata. Il problema variazionale astratto del modello verrà scritto e verrà dimostrata l'unicità della soluzione per il problema di trave libera, sia lineare che non lineare. Dunque il modello verrà discretizzato con elementi finiti di Hermite per il problema spaziale e con una semi-discretizzazione in tempo. Verranno analizzati diversi metodi di risoluzione: per il solver statico il problema verrà linearizzato con un metodo di Newton, mentre per quello dinamico due schemi temporali verranno progettati con un trattamento semi implicito del termine non lineare. Infine i solver verranno implementati usando questi metodi e poi validati con delle soluzioni analitiche per il problema di trave libera e con delle soluzioni benchmark provenienti dai risultati di un codice commerciale per il problema di contatto.